Demonštrácia nezávislých udalostí, príklady, cvičenia

Dva udalosti sú nezávislé, Ak pravdepodobnosť, že sa stane, sa nestane, nie je ovplyvnená skutočnosťou, že k druhému dochádza -alebo sa nestane -zvažuje sa, že tieto udalosti sa vyskytujú náhodne.

Táto okolnosť sa vždy uvádza, že proces generovaný výsledkom udalosti 1 sa nijako nezmení pravdepodobnosť možných výsledkov udalosti 2. Ale ak to tak nie je, hovorí sa, že udalosti sú závislé.

postava 1. Farebné guľky sa často používajú na vysvetlenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Zdroj: Pixabay.

Situácia nezávislých udalostí je nasledovná: Predpokladajme, že sú hodené dve kocky šiestich strán, jedna modrá a druhá ružová. Pravdepodobnosť 1 v modrých kocky je nezávislá od pravdepodobnosti, že 1 -alebo nevyjde - v ružových kocky.

Ďalším prípadom dvoch nezávislých udalostí je spustenie mince dvakrát za sebou. Výsledok prvého spustenia nebude závisieť od výsledku druhého a naopak.

[TOC]

Demonštrácia dvoch nezávislých udalostí

Aby sme overili, že dve udalosti sú nezávislé, definujeme koncept podmienenej pravdepodobnosti jednej udalosti s ohľadom na druhú. Z tohto dôvodu je potrebné rozlišovať medzi exkluzívnymi udalosťami a inkluzívnymi udalosťami:

Dve udalosti sú exkluzívne, ak je to možné, hodnoty alebo prvky udalosti A, nemajú nič spoločné s hodnotami alebo prvkami udalosti B.

Preto je v dvoch exkluzívnych udalostiach súbor priesečníka A s B prázdny:

Exkluzívne udalosti: a∩b = Ø

Naopak, ak sú udalosti inkluzívne, môže sa stať, že jeden z udalostí sa tiež zhoduje s udalosťami iného B, čo je rôzne udalosti A a B. V tomto prípade:

Inkluzívne udalosti: a∩b ≠ Ø

To nás vedie k definovaniu podmienenej pravdepodobnosti dvoch inkluzívnych udalostí, inými slovami, pravdepodobnosť výskytu udalosti A, za predpokladu, že sa vyskytne udalosť B:

P (a

Preto je podmienená pravdepodobnosť, že sa vyskytuje a B vydelená pravdepodobnosťou, ktorá sa vyskytuje b. Pravdepodobnosť, ktorá je založená na:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Kritériá vedieť, či sú dve udalosti nezávislé

Ďalej poskytneme tri kritériá, aby sme vedeli, či sú dve udalosti nezávislé. Stačí, že je splnený jeden z týchto troch, aby sa preukázala nezávislosť udalostí.

1.- Ak sa pravdepodobnosť, že sa vyskytne, pokiaľ sa B rovná pravdepodobnosti a, potom sú to nezávislé udalosti:

Môže vám slúžiť: Vlastnosť algebra zámku: demonštrácia, príklady

P (aemb) = p (a) => a je nezávislé od b

2.- Ak sa vyskytne pravdepodobnosť, ktorá sa vyskytne B, rovná sa pravdepodobnosti B, potom majú nezávislé udalosti:

P (b¦a) = p (b) => b je nezávislý od a

3.- Ak je pravdepodobnosť, že sa vyskytne a B, rovná produktu pravdepodobnosti, ktorá sa vyskytuje pre pravdepodobnosť, ku ktorej dochádza B, potom ide o nezávislé udalosti. Recipročné je tiež pravda.

P (a∩b) = p (a) p (b) a a b sú nezávislé udalosti.

Príklady nezávislých udalostí

Porovnávajú sa gumové podrážky vyrobené dvoma rôznymi dodávateľmi. Vzorky každého výrobcu sú vystavené niekoľkým pokusom, z ktorých sa vyvodzujú, či sú v rámci špecifikácií alebo nie. 

Obrázok 2. Rozmanitosť gumových podrážok. Zdroj: Pixabay.

Výsledné zhrnutie 252 vzoriek je nasledujúce:

Výrobca 1; 160 Spĺňa špecifikácie; 8 nespĺňajte špecifikácie.

Výrobca 2; 80 spĺňajú špecifikácie; 4 Nespĺňajte špecifikácie.

Udalosť A: „Vzorka je od výrobcu 1“.

Udalosť B: „Že vzorka spĺňa špecifikácie“.

Je potrebné vedieť, či tieto udalosti A a B nie sú alebo nie sú nezávislé, pre ktoré uplatňujeme jedno z troch kritérií uvedených v predchádzajúcej časti.

Kritériá: p (bped) = p (b) => b je nezávislý od a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Záver: Udalosti A a B sú nezávislé.

Predpokladajme, že udalosť C: „že prehliadka pochádza od výrobcu 2“

Bude to udalosť B nezávisle od udalosti C?

Uplatňujeme jedno z kritérií.

Kritériá: p (b¦c) = p (b) => b je nezávislé od C

P (bâc) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Preto je podľa dostupných údajov pravdepodobnosť, že náhodne zvolená gumová podrážka spĺňa špecifikácie, nezávislá od výrobcu. 

Zmeniť nezávislú udalosť na závislú

Pozrime sa na nasledujúci príklad, aby sme rozlišovali medzi udalosťami Závislí e nezávislý. 

Máme tašku s dvoma bielymi čokoládovými guľami a dvoma čiernymi guľami. Pravdepodobnosť získania bielej alebo čiernej gule je rovnaká pri prvom pokuse.

Predpokladajme, že výsledkom bola biela guľa. Ak je extrahovaná guľa doplnená do vrecka, opakuje sa pôvodná situácia: dve biele gule a dve čierne gule.

Takže v druhej udalosti alebo extrakcii sú možnosti vytiahnutia bielej gule alebo čiernej gule identické s možnosťami prvého času. Preto sú to nezávislé udalosti.

Ale ak biela guľa nie je v prvom prípade doplňovaná, pretože sme ju zjedli, v druhej extrakcii existujú väčšie možnosti získania čiernej gule. Pravdepodobnosť, že v druhej extrakcii sa opäť získa biele, sa líši od pravdepodobnosti prvej udalosti a je podmienená predchádzajúcim výsledkom.

Môže vám slúžiť: Scaleno trojuholník

Cvičenia

- Cvičenie 1

V krabici vložili 10 guličiek na obrázok 1, z ktorých 2 sú zelené, 4 modré a 4 biele. Chystajú sa vybrať dva náhodné mranice, jeden prvý a jeden po. Žiada sa, aby našla
Pravdepodobnosť, že žiadna z nich nie je modrá, za nasledujúcich podmienok:

a) S výmenou to znamená, že sa vrátime do škatule prvý mramor pred druhým výberom. Uveďte, či sú to nezávislé alebo závislé udalosti.

b) Bez výmeny, takže prvý extrahovaný mramor je v čase vykonania druhého výberu mimo krabice. Podobne poukážte na to, či sú závislé alebo nezávislé udalosti.

Roztok

Vypočítame pravdepodobnosť, že prvý extrahovaný mramor nie je modrý, čo je o 1 menej pravdepodobnosť, že je modrý P (a) alebo priamo, že nie je modrá, pretože vyšla zelená alebo biela:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (bez modrej) = 1 - (2/5) = 3/5

O dobre:

P (zelená alebo biela) = 6/10 = 3/5.

Ak sa mramor vráti, všetko je opäť ako predtým. V tejto druhej extrakcii je tiež 3/5 pravdepodobnosti, že extrahovaný mramor nie je modrý.

P (bez modrej, bez modrej) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Udalosti sú nezávislé, pretože extrahovaný mramor sa vrátil do škatule a prvá udalosť neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhého.

Riešenie B

Pri prvom extrakcii to isté pokračuje v predchádzajúcej časti. Pravdepodobnosť, že nie je modrá, je 3/5.

Pre druhú extrakciu máme vo vrecku 9 guličiek, pretože prvé sa nevrátilo, ale nebolo modré, preto vo vrecku zostane 9 guličiek a 5 non -mlue:

P (zelená alebo biela) = 5/9.

P (žiadna je modrá) = p (prvá nie modrá). P (druhý non -blue /prvý nebol modrý) = (3/5) . (5/9) = 1/3

V tomto prípade nejde o nezávislé udalosti, pretože prvé podmienky udalostí v druhom.

- Cvičenie 2

Obchod má 15 košieľ v troch veľkostiach: 3 malé, 6 stredných a 6 veľkých. Sú náhodne vybrané 2 košele.

a) Akú pravdepodobnosť sú obidve vybrané košele malé, ak sa niekto prvýkrát odstráni a bez toho?

b) Čo je pravdepodobné, obe vybrané košele sú malé, ak sa niekto prvýkrát odstráni, druhý je vymenený a druhý je odstránený?

Môže vám slúžiť: skutočná skutočná premenná funkcia a jej grafická reprezentácia

Roztok

Tu sú dve udalosti:

Udalosť A: Prvá vybraná košeľa je malá

Udalosť B: Druhá vybraná košeľa je malá

Pravdepodobnosť udalosti A je: p (a) = 3/15

Pravdepodobnosť, ktorá pochádza z udalosti B, je: p (b) = 2/14, pretože košeľa už bola extrahovaná (14), ale tiež sa chce stretnúť s udalosťou na prvé vyťažené košeľa, musí byť malá a došlo 2 malé.

Inými slovami, pravdepodobnosť A a B bude produktom pravdepodobností:

P (a a b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Preto je pravdepodobnosť, že sa bude konať udalosť A a B.

Je potrebné poznamenať, že:

P (b..A) = 2/14

Pravdepodobnosť, že je udalosť B bez ohľadu na to, či je udalosť uvedená alebo nie, bude:

P (b) = (2/14), ak bol prvý malý, alebo p (b) = 3/14, ak prvý nebol malý.

Všeobecne možno uzatvárať nasledujúce:

P (BPED) sa nerovná p (b) => b nie je nezávislý od a

Riešenie B

Opäť sú dve udalosti:

Udalosť A: Prvá vybraná košeľa je malá

Udalosť B: Druhá vybraná košeľa je malá

P (a) = 3/15

Pamätajte, aký je výsledok, košeľa je nahradená z pozemku a opäť náhodne odstráni tričko. Pravdepodobnosť udalosti B, ak bola udalosť A uvedená:

P (b¦a) = 3/15

Pravdepodobnosť, že udalosti budú uvedené A a B, bude:

P (a a b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Poznač si to: 

P (b¦a) sa rovná p (b) => b je nezávislý od a.

- Cvičenie 3

Zvážte dve nezávislé udalosti A a B. Je známe, že pravdepodobnosť, že sa vyskytne udalosť, je 0,2 a pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti B, je 0,3. Aká bude pravdepodobnosť, že sa obe udalosti vyskytnú?

Riešenie 2

Vedieť, že udalosti sú nezávislé, je známe, že pravdepodobnosť, že sa obe udalosti vyskytnú, je produktom individuálnych pravdepodobností. To znamená,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Všimnite si, že je to oveľa nižšia pravdepodobnosť, ako je pravdepodobnosť, že každá udalosť nastane bez ohľadu na výsledok druhého. Alebo inými slovami, oveľa menej ako individuálne pravdepodobnosti.

Odkazy

1. Berenson, m. 1985. Štatistiky pre správu a ekonomiku. Inter -American S.Do. 126-127.
2. Inštitút Monterrey. Pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Získané z: Monterreyinstitute.orgán
3. Profesor rohoží. Nezávislé udalosti. Obnovené z: YouTube.com
4. Superprof. Typy udalostí, závislé udalosti. Obnovené z: Superprof.je
5. Virtuálny tútor. Pravdepodobnosť. Získané z: VitUtor.slepo
6. Wikipedia. Nezávislosť (pravdepodobnosť). Získané z: Wikipedia.com