Sférické súradnice príklady a cvičenia vyriešené

Ten sférické súradnice Sú systémom umiestnenia v trojrozmernom priestore pozostávajúci z radiálnej súradnice a dvoch uhlových súradníc nazývaných polárna súradnica a azimutálna súradnica.

Na obrázku 1, ktorý vidíme nižšie, sú zobrazené sférické súradnice (r, 9, φ) bodu m. Tieto súradnice sa označujú o ortogonálny systém karteziánskych osí x, y, z pôvodu alebo.

postava 1. Sférické súradnice (r, 9, φ) z bodu m. (Wikimedia Commons)

V tomto prípade je koordinovaná r bodu M vzdialenosť od tohto bodu k pôvodu alebo. Polárna súradnica 9 predstavuje uhol medzi kladnou semi -axou z a polomerom vektora om. Zatiaľ čo azimutálna súradnica φ je uhol medzi pozitívnou semi -osou x a polomerom vektora, pričom je ortogonálna projekcia m v ​​rovine XY.

Radiálna súradnica R vyžaduje iba kladné hodnoty, ale ak je bod umiestnený na začiatku, potom r = 0. Polárna súradnica 9 považuje za minimálnu hodnotu 0 ° pre body umiestnené na pozitívnom semifinále. Nakoniec, azimutálna súradnica φ berie ako minimálnu hodnotu 0 ° a maximálnu úroveň 360 °.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180 °

0 ≤ φ  < 360º

[TOC]

Zmena súradníc

Ďalej budú uvedené vzorce, ktoré umožňujú karteziánske súradnice (x, y, z) bodu M, za predpokladu sférických súradníc toho istého (r, θ, φ) bodu:

x = r sen (9) cos (φ)

y = r sen (9) sin (φ) 

z = r cos (9)

Rovnakým spôsobom je užitočné nájsť vzťahy, ktoré sa majú presťahovať z karteziánskych súradníc (x, y, z) bodu, ktorý sa dal sférickým súradniciam tohto bodu:

R = √ (x^2 + y^2 + z^2)

9 = arcan (√ (x^2 + y^2) / z)

Môže vám slúžiť: diskrétna náhodná premenná

φ = Arctan (y / x)

Vektorová báza v sférických súradniciach

Z sférických súradníc je definovaná ortonormálna základňa základných vektorov, ktoré sú označené Ur, U 9, Uφ. Obrázok 1 zobrazuje tieto tri jednotkové vektory, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

- Ur Je to jednotkový vektor dotyčný k radiálnej čiare 9 = ctte a φ = ctte;

- U 9 Je to jednotkový tangentný vektor k oblúku φ = ctte a r = ctte;

- Uφ Je to jednotný vektor dotyčný k oblúku r = ctte a 9 = ctte.

Prvky riadku a objemu v sférických súradniciach

Vektorová poloha bodu v priestore v sférických súradniciach je napísaná takto:

r = r Ur

Ale nekonečná variácia alebo posunutie bodu v trojrozmernom priestore, v týchto súradniciach je vyjadrená nasledujúcim vektorovým vzťahom:

dr = DR Ur + r dθ U 9 + r sen (9) dφ Uφ

Nakoniec je napísaný takto je napísaný nekonečný objem DV v sférických súradniciach:

dv = r^2 sin (θ) DR dθ dφ

Tieto vzťahy sú veľmi užitočné na výpočet integrálov a objemu línie vo fyzických situáciách, ktoré majú sférickú symetriu.

Vzťah s geografickými súradnicami

Geografické súradnice sa chápe, že slúžia na lokalizáciu miest na zemskom povrchu. Tento systém používa súradnice zemepisnej šírky a dĺžky na lokalizáciu polohy na povrchu Zeme.

V geografickom súradnicovom systéme sa predpokladá zemský povrch.

Obrázok 2. Dĺžka α a p zemepisnej šírky pozorovateľa na zemskom povrchu.

Β zemepisná šírka je uhol tvorený polomerom, ktorý začína od stredu Zeme do bodu, ktorý chcete umiestniť. Meria sa z rovníkovej roviny, ako je znázornené na obrázku 2. Na druhej strane, dĺžka a je uhol, že poludník bodu, ktorý sa umiestňuje vzhľadom na nulovú poludníku (známy ako Greenwich Meridian).

Môže vám slúžiť: relatívna hodnota

Zemepisná šírka môže byť severná alebo južná zemepisná šírka, v závislosti od toho, či sa nachádza miesto, ktoré sa nachádza na severnej pologuli alebo na južnej pologuli. Podobne môže byť dĺžka na západ alebo to v závislosti od toho, či je umiestnenie západne alebo východne od nulového poludníka.

Vzorce na zmenu z geografického na sférické

Na získanie týchto vzorcov je prvá vec. Lietadlo XY sa zhoduje s rovnou rovinou, ktorá je pozitívnou semi -osou X, ktorá prechádza zo stredu Zeme a cez nulový poludník. Na druhej strane osi a prechádza cez 90 ° a poludník. Zemský povrch má RT rádio.

S týmto súradnicovým systémom sú geografické až sférické transformácie:

aEpn → (rt, 9 = 90 ° P, φ = α)

aOpn → (rt, 9 = 90 ° β, φ = 360 °-a)

aEp → (rt, 9 = 90 °+β, φ = α)

aOps → (RT, 9 = 90 °+β, φ = 360 °-a) 

Príklady

Príklad 1

Geografické súradnice Palma de Mallorca (Španielsko) sú:

Východná dĺžka 38 847 ° a severná zemepisná šírka 39 570 °. Na stanovenie sférických súradníc zodpovedajúcich Palma de Mallorca sa použije prvé z vzorcov predchádzajúcej časti vzorcov:

38,847 ° EE39,570 °N → (r = 6371 km, 9 = 90 °-39,570 °, φ = 38,847 °)

Potom sú sférické súradnice:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, 9 = 50,43 °, φ = 38,85 °)

V predchádzajúcej odpovedi sa R ​​rovná priemernému polomeru Zeme.

Príklad 2

Vedieť, že Falklandské ostrovy (Falkland) majú geografické súradnice 59 ° o 51,75 ° s, určte zodpovedajúce polárne súradnice. Pamätajte, že os X prechádza zo stredu Zeme k poludníku 0 ° a na rovníkovej rovine; os y tiež v rovníkovej rovine a cez západný poludník 90 °; Nakoniec os Z na osi suchozemskej rotácie v južnom smere.

Môže vám slúžiť: Curtóza: Definícia, typy, vzorce, na čo je napríklad

Aby sme našli zodpovedajúce sférické súradnice, používame vzorce uvedené v predchádzajúcej časti:

59 ° o 51,75 ° s → (r = 6371 km, 9 = 90 °+51,75 °, φ = 360 °-59 °)

Malvinas: (r = 6371 km, 9 = 141,75 °, φ = 301 °)

Cvičenia

Cvičenie 1

Nájdite karteziánske súradnice Palma de Mallorca v referenčnom systéme Cartesiano XYZ znázornené na obrázku 2.

Riešenie: Predtým sa v príklade 1 sférické súradnice získali na základe geografických súradníc Palma de Mallorca. Aby sa vyššie uvedené vzorce mohli použiť na presun z sférických k karteziánom:

x = 6371 km sen (50,43 °) cos (38,85 °)

Y = 6371 km sen (50,43 °) Sen (38,85 °) 

Z = 6371 km cos (50,43 °)

Vykonanie zodpovedajúcich výpočtov je:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Cvičenie 2

Nájdite karteziánske súradnice Falklandských ostrovov v referenčnom systéme Cartesiano XYZ znázornené na obrázku 2.

Riešenie: Predtým v príklade 2 boli sférické súradnice získané na základe geografických súradníc Falklandských ostrovov. Aby sa vyššie uvedené vzorce mohli použiť na presun z sférických k karteziánom:

x = 6371 km sen (141,75 °) cos (301 °)

y = 6371 km sen (141,75 °) Sen (301 °) 

Z = 6371 km cos (141,75 °)

Vykonanie zodpovedajúcich výpočtov sa získa:

Falklandské ostrovy: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Odkazy

1. Arfken G a Weber H. (2012). Matematické metódy pre fyzikov. Komplexný sprievodca. 7. vydanie. Akademická tlač. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Výpočet. Riešené valcové a sférické problémy s koordináciou. Obnovené z: výpočtu.Dc
3. Workshop. Zemepisná šírka. Získané z: sadzby.Blog.com/ com/
4. Weisstein, Eric W. „Sférické súradnice.”Z Web Mathworld-A Wolfram. Obnovené z: Mathworld.Valfram.com
5. Wikipedia. Sférický súradnicový systém. Zdroj: In.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Vektorové polia vo valcových a sférických súradniciach. Zdroj: In.Wikipedia.com