Náhodné výbery s výmenou alebo bez výmeny

Ten náhodný výber Skladá sa z výberu náhodného prvku alebo vzorky na základe množiny údajov alebo objektov. S výmenou to znamená vrátiť prvok do pôvodnej sady a bez výmeny to znamená, že sa nevráti.

V prvom prípade, keď sa vybraný prvok vráti do súboru pôvodu, nie je upravený, a ponecháva otvorenú možnosť, že uvedený prvok je vybraný viackrát. Týmto spôsobom je možné nekonečné extrakcie vykonávať na rovnakej populácii, aj keď pozostáva z n prvkov, sú konečné.

Ale ak sa výber uskutoční bez výmeny, pôvodná sada prvkov sa zmení zakaždým, keď sa z nej extrahuje nejaký prvok, aby sa vytvorila vzorka. A extrahované prvky nemajú možnosť byť znovu vybrané.

Keďže populácia klesá, počet extrakcií, ktoré sa dajú urobiť, je konečný.

Ak je veľkosť populácie n malá, existuje významný rozdiel medzi výberom náhodných prvkov s výmenou alebo bez výmeny. Na druhej strane, keď je n veľmi veľký, rozdiel je oveľa nižší, ako bude vidieť neskôr.

Výber s výmenou

Pravdepodobnosť, že dôjde k určitej udalosti X, je pomer medzi počtom priaznivých prípadov a celkovým počtom prípadov:

P (x) = priaznivé/celkové prípady.

Ak populácia pozostáva z N rôznych prvkov: x₁, X₂, X₃…, Pravdepodobnosť výberu prvku X₁ je p (x₁) = 1/n.

Keďže existuje náhrada, veľkosť populácie zostáva n, potom pravdepodobnosť výberu nasledujúceho prvku x₂ je p (x₂) = 1/n.

A rovnako, každý zo zostávajúcich prvkov má rovnakú pravdepodobnosť, že bude vybraný:

Môže vám slúžiť: známka polynómu: Ako je určené, príklady a cvičenia

P (x_n) = 1/n

Preto, keďže sú navzájom nezávislé udalosti, je spoločná pravdepodobnosť výskytu produktom pravdepodobnosti každej z nich:

P (x₁, X₂, X₃... X_n) = (1/n) × (1/n) ×… × (1/n)

Výber bez výmeny

Pri výbere určitého prvku bez výmeny populácie veľkosti n je pravdepodobnosť, že takýto prvok je vybraný, je:

P (x₁) = 1/n

Akonáhle sa to stane, prvky n - 1 zostávajú v populácii, pravdepodobnosť výberu ďalšieho je:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Populácia zvolená, populácia teraz pozostáva z n - 2 prvkov, v tomto prípade pravdepodobnosť výberu nasledujúceho je:

P (x₃) = 1/(n - 2)

A tak ďalej. Pravdepodobnosť jediného prvku je:

P (x_n) = 1/[n- (n-1)]

Nakoniec spoločná pravdepodobnosť výberu prvkov x₁, X₂, X₃… V rámci vzorky je to produkt každej z pravdepodobností:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n- (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n- (n-1)]

Príklady

V štatistike je pôsobenie výberu vzorky experimentom, súbor možných výsledkov je priestor vzorky a výsledky experimentu predstavujú udalosť.

Príklad 1

K dispozícii je škatuľka s guličkami rôznych farieb: 12 červenej, 7 modrej a 5 zelenej. Experiment spočíva v extrahovaní jediného náhodného mramoru.

Rovnako ako celkovo je v krabici 24 guličiek, z ktorých 12 je červená, pravdepodobnosť vytiahnutia červeného mramoru, označovaného P (R), je:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Potom chcete poznať pravdepodobnosť extrahovania zeleného mramoru, tj P (v).

Môže vám slúžiť: súčet štvorcov dvoch po sebe idúcich čísel

Táto pravdepodobnosť závisí od toho, či sa červený mramor, ktorý bol extrahovaný v prvom rade. Ak je červený mramor vložený znova do škatule s ostatnými, výber je s výmenou alebo výmenou a inak je výber bez výmeny.

Pri výbere s výmenou sa priestor vzorky nemení, v krabici je stále 24 guličiek a pravdepodobnosť extrahovania zeleného mramoru je:

P (v) = 5/24 = 0.dvadsaťjeden

A ak sa počiatočný červený mramor nevráti do škatule, v tomto je 23 guličiek a pravdepodobnosť extrahovania zelene by mala byť o niečo väčšia:

P (v) = 5/23 = 0.22

Príklad 2

V ďalšom experimente s mramorovou skrinkou chcete vypočítať pravdepodobnosť, že keď sú extrahované dve guľky, prvá je červená a ďalšia je modrá. Môžete pokračovať dvoma spôsobmi:

a) s výmenou

Obe udalosti sú nezávislé, to znamená, že farba extrahovaného mramoru neovplyvňuje pravdepodobnosť získania ďalšieho mramoru určitej farby.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Žiadna výmena

Pri odchode z prvého mramoru vonku, ak to bolo červené, je pravdepodobnosť extrahovania modrej po druhýkrát o niečo väčšia:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Príklad 3

Mesto má 30.000 obyvateľov, z ktorých 15.423 sú ženy. Chcete vypočítať pravdepodobnosť, že výberom dvoch obyvateľov sú obe ženy.

a) s výmenou

Nech p (m) je pravdepodobnosť, že vybraným obyvateľom je žena, potom:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Môže vám slúžiť: Prečo je algebra dôležitá v určitých každodenných situáciách?

Takže pravdepodobnosť, že druhá zvolená osoba je tiež žena, je:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Žiadna výmena

Ak si vybraná prvá osoba nie je „vrátená“, potom je pravdepodobnosť výberu ženy v druhom pokuse:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

V predchádzajúcom prípade nie je významný rozdiel. A produkt 0.51410 × 0.51408 sa takmer rovná 0.2643, čítačka ju môže skontrolovať pomocou kalkulačky.

Cvičenie

Krabica má 5 zelených veriacich, 2 modrých veriacich a 3 červených veriacich, všetci nový a identický. Určite pravdepodobnosť, že extrahovaním dvoch veriacich z krabice nie je žiadna z nich červená:

a) s výmenou. Sú tieto udalosti nezávislé?

b) bez výmeny, čo naznačuje, či sú udalosti nezávislé.

Roztok

Celkovo existuje 10 verí, z ktorých 3 sú červené a 7 nie je. Pravdepodobnosť P (R^*), že prvý verí, že nie je červená, je:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Verte sa vráti do škatule a druhá extrakcia sa uskutoční s rovnakým výsledkom:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Udalosti sú preto nezávislé, pravdepodobnosť, že v tomto experimente nie je presvedčenie červené:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Riešenie B

Pravdepodobnosť získania viery, ktorá nie je červená pri prvom pokuse, je rovnaká ako v oddiele A). Ale v druhej extrakcii je v krabici už 9 veriacich:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

A v tomto prípade pravdepodobnosť extrahovania verenia, ktorá nie je červená, je:

P₁(R^*) × P₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Udalosti nie sú nezávislé.