Bijektívna funkcia Čo je, ako sa to robí, príklady, cvičenia

A Bijektívna funkcia Je to ten, ktorý spĺňa dvojitý stav bytia Injekčné a nadmerné. To znamená, že všetky prvky domény majú v kodomínii jeden obraz a kodomínium sa zase rovná rozsahu funkcie ( R_F ).

Splní sa, keď sa považuje za biunivookálny vzťah medzi prvkami domény a kodomínium. Jednoduchým príkladom je funkcia F: r → R definovaný riadkom F (x) = x

Zdroj: autor

Zistilo sa, že pre každú hodnotu domény alebo sada odchodu (obidva výrazy sa platia rovnako) v kodominium alebo príchode je jediný obrázok. Okrem toho neexistuje žiadny prvok kodominium, ktorý nie je obraz.

Tak F: r → R definovaný riadkom F (x) = x je bijective

[TOC]

Aká je funkcia bijjektívnej funkcie?

Na to, aby ste na to reagovali, je potrebné mať jasné pojmy týkajúce sa storočia Injekčnosť a Nadmerná funkcia, Okrem kritérií kondicionovania funkcií na ich prispôsobenie požiadavkám.

Injekčnosť funkcie

Funkcia je Injekčný Keď každý z prvkov jeho domény súvisí s jediným prvkom kodomínium. Prvok kodomínium môže byť iba obrazom jediného prvku domény, týmto spôsobom sa hodnoty závislej premennej nemožno opakovať.

Zvážiť Injekčný Na funkciu sa musí splniť nasledujúce:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Nadmerná funkcia

Funkcia je klasifikovaná ako Nadmerný, Ak je každý prvok jeho kodomínium obrazom aspoň jednej doménovej prvku.

Zvážiť Nadmerný Na funkciu sa musí splniť nasledujúce:

Môže vám slúžiť: náhradné odber vzoriek

Byť F: D_F → C_F

∀ B ℮ C_F  A do ℮  D_F   / F (a) = b

Toto je algebraický spôsob, ako zistiť, že pre každého „b“, ktorý patrí do C_F Existuje „A“, ktorý patrí D_F tak, že funkcia vyhodnotená v „A“ sa rovná „b“. 

Kondicionovanie funkcií

Niekedy funkcia, ktorá nie je Bijective, môže podstúpiť určité kondicionovanie. Tieto nové podmienky môžu zmeniť na a Bijektívna funkcia. Všetky typy modifikácií domény a kodomínium funkcie sú platné, kde cieľom je splniť vlastnosti injektivity a nadmernej alcheivity v príslušnom vzťahu.

Príklady: Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Byť funkciou F: r → R definovaný riadkom F (x) = 5x +1

Odpoveď: [všetky skutočné čísla]

Zistilo sa, že pre akúkoľvek hodnotu domény je v kodomínii obraz. Tento obrázok je jedinečný, čo vytvára F byť jedným Injekčná funkcia. Rovnakým spôsobom pozorujeme, že kodomínium funkcie sa rovná jej rozsahu. Tak spĺňa stav Nadmernosť.

Byť injekčný a nadmerný zároveň, že to môžeme dospieť k záveru

F: r → R definovaný riadkom F (x) = 5x +1 je a Bijektívna funkcia.

Platí to pre všetky lineárne funkcie (funkcie, ktorých väčší stupeň premennej je jeden).

Cvičenie 2

Byť funkciou F: r → R definovaný F (x) = 3x² - 2

Pri kreslení vodorovnej čiary sa zistí, že graf sa nachádza pri viac ako jednej príležitosti. Z tohto dôvodu funkcia F Nie je injektívne, a preto to nebude Bijective Pri definovaní v R → R

Rovnakým spôsobom existujú hodnoty kodominium, ktoré nie sú obrazmi žiadneho prvku domény. Z tohto.

Môže vám slúžiť: Sada Teória: Charakteristiky, prvky, príklady, cvičenia

Doména a kodomínium funkcie sú podmienené

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ]

Kde sa pozoruje, že nová doména pokrýva hodnoty od nuly po kladné nekonečno. Vyhnúť sa opakovaniu hodnôt, ktoré ovplyvňujú injektivitu.

Kodominium sa teda modifikoval, počíta sa od „-2“ do pozitívnej nekonečnosti, vylúčené z kodominia hodnoty, ktoré nezodpovedali žiadnemu prvku domény

Týmto spôsobom sa dá zabezpečiť F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ] definovaný F (x) = 3x² - 2

Je to bijektívne

Cvičenie 3

Byť funkciou F: R → R definovaný F (x) = sin (x)

V intervale [ -∞ , +∞ ] Funkcia sínusu mení svoje výsledky medzi nulou a jedným.

Zdroj: autor.

Funkcia F Nezodpovedá kritériám injektivity a nadmernej prípravy, pretože závislé premenné hodnoty sa opakujú v každom π intervale. Okrem toho podmienky kodomínium mimo intervalu [-eleven] Nie sú obrazom žiadneho prvku domény.

Pri štúdiu funkčnej grafiky F (x) = sin (x) Intervaly sa pozorujú, keď správanie krivky spĺňa kritériá Bijectivita. Ako je interval  D_F  = [  π/2,3π/2  ] Pre doménu. A C_F  = [-1, 1] Pre kodominium.

Ak sa funkcia mení výsledky od 1 do -1, bez opakovania akejkoľvek hodnoty v závislej premennej. A zároveň sa co -oominium rovná hodnotám prijatým výrazom Hriech

Týmto spôsobom funkcia F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definovaný F (x) = sin (x). Je to bijektívne

Cvičenie 4

Zvýšte potrebné podmienky pre D_F a c_F. Takže výraz

Môže vám slúžiť: Chyba vzorkovania: vzorce a rovnice, výpočet, príklady

F (x) = -x²  Bit.

Zdroj: autor

Opakovanie výsledkov sa pozoruje, keď premenná má opačné hodnoty:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

Doména je podmienená a obmedzuje ju na pravú stranu skutočnej čiary.

D_F = [0 , +∞ ]

Rovnakým spôsobom sa pozoruje, že rozsah tejto funkcie je interval [ -∞ , 0], ktoré tým, že slúži ako kodominium.

Týmto spôsobom to môžeme dospieť k záveru

Výraz F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definovaný F (x) = -x²   Je to bijektívne

Navrhované cvičenia

Overte, či sú nasledujúce funkcie bijektívne:

F: [0 , ∞) → R definovaný F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definovaný F (x) = 5ctg (x)

F: [ -π,π  ] → R definovaný F (x) = cos (x - 3)

F: r → R definovaný riadkom F (x) = -5x + 4

Odkazy

1. Úvod do logiky a kritického myslenia. Merrilee H. Losos. University of Pittsburgh
2. Problémy v matematickej analýze. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Wroclaw University. Pól.
3. Prvky abstraktnej analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Oddelenie matematiky. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Matematické analýzy. Enrique Linés escardó. Redaktor. Do roku 1991. Barcelona, ​​Španielsko.