Vyriešené faktorizačné cvičenia

Ten faktorovanie Je to algebraický postup, ktorým sa algebraický výraz stáva produktmi jednoduchších výrazov. Týmto spôsobom je veľa výpočtov zjednodušené.

Faktorizačné cvičenia pomáhajú porozumieť tejto technike, ktorá sa veľa používa v matematike a spočíva v procese písania súčtu ako produktu určitých podmienok.

postava 1.- Faktoringom rozšíreného algebraického výrazu sa transformuje na produkt faktorov, s ktorými je pohodlný na prácu. Zdroj: f. Zapata.

Ak chcete primerane faktor, musíte začať tým, že zistíte, či existujú písmená a čísla spoločné pre každý termín. Napríklad výraz 5x⁴ -10x³ + 25x², ktorý obsahuje tri termíny, môže to byť faktorom, ktorý si všimol, že „x“ sa opakuje v každom z nich, aj keď s inou energiou. Pokiaľ ide o numerické koeficienty, všetky sú násobky 5.

Spoločný faktor teda pozostáva z:

-Produkt medzi maximálnym spoločným deliteľom koeficientov a

-Najmenšia sila, ktoré sa objavujú.

V príklade je spoločným faktorom:

5x²

A výraz zostáva taký:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Čitateľ môže skontrolovať uplatňovaním distribučnej vlastnosti, že oba výrazy sú rovnocenné.

[TOC]

Metódy faktorizácie: štvorcový rozdiel

Nie všetky algebraické výrazy sa faktorujú, ako sme práve urobili, takže tu ukážeme, ako použiť niekoľko metód s vyriešeným krok za krokom.

S trochou praxe sa preto čitateľ učí uplatňovať najpohodlnejšiu metódu v prípadoch, ako napríklad:

-Binomická a trinomická faktorizácia.

-Polynómová faktorizácia.

-Výpočet polynómových koreňov.

Obrázok na obrázku 1 je veľmi užitočný, keď vyvstáva otázka: aký druh faktorizácie využíva na cvičenie?

Začneme s rozdielom štvorcov, pre ktoré sa používa vzorec 1 tabuľky.

- Cvičenie vyriešené 1

Faktor 16x binomial² - 49

Riešenie

V tomto príklade sa sila neopakuje a numerické koeficienty nie sú navzájom bratrancami, ako v príklade princípu. Ak sa však overuje, že daný výraz je a Rozdiel štvorcov, Môže sa použiť vzorec 1.

Všetko, čo je potrebné, je identifikovať podmienky do a b:

do² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → b = 49 = 7

Po zistení pokračujte v výmene vzorca:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Môže vám slúžiť: zníženie podobných výrazov

A výraz zostáva ako dva faktory produkt.

V tomto a vo všetkých prípadoch, ktoré nasledujú, čitateľ môže potvrdiť, že ak vyvinie výsledok s distribučnou vlastnosťou, pôvodný algebraický výraz sa získa späť.

Perfektná štvorcová trinomická faktorizácia

Tieto prípady zodpovedajú vzorcom 2 a 3 na obrázku 1. Pred jeho použitím je však potrebné overiť, či je výraz splnený, že:

-Dva výrazy sú dokonalým štvorcom do a b.

-Zostávajúci termín je dvojitým produktom A a B, to znamená: 2Ab.

Ak je vyššie uvedená pravda, je to perfektný štvorcový trinomén a vzorce sa aplikujú priamo.

- Cvičenie vyriešené 2

Trinomiálny faktor: x² + 12x + 36

Riešenie

Zdá sa, že tento výraz je vhodný na použitie vzorec 2 v krabici, ale najprv musíme overiť, či ide o dokonalý štvorcový trinomial. Najprv sa zistilo, že prvý aj tretí termín sú perfektné štvorce:

• X² Je to perfektný štvorec X, pretože (x)² = x²
• 36 je perfektný štvorec 6, od 6² = 36

Tak:

a = x
B = 6

A nakoniec sa musí overiť, že zostávajúci termín je 2AB a skutočne:

12x = 2 šlok6

Odčítava iba faktoring podľa vzorca:

X² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Cvičenie vyriešené 3

Napíšte výraz 4x² -20x + 25 vo forme faktorizovanej.

Riešenie

Pretože existuje negatívny znak pojem, by mohol slúžiť v krabici vzorec 3, avšak skôr, ako sa musí overiť, že ide o dokonalý štvorcový trinomén:

• 4x² Je to 2x štvorcový, od (2x)² = 4x², Preto a = 2x
• 25 Rovnal 5², potom b = 5
• Termín 20x sa rovná 22 x 2 x 5 = 20x

Faktorizácia zostáva taká:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Súčet a rozdiel kociek

Ak máte sumy alebo rozdiely v kocky, platia vzorce 4 alebo 5 v závislosti od prípadu.

- Cvičenie vyriešené 4

Faktorizovať 8x³ - 27

Riešenie

Máme tu rozdiel v kocky, takže extrahujeme kubický koreň každého pojmu:

Potom a = 2x a b = 3.

Nasleduje vzorec 4, ktorý je vhodný pre rozdiel v kocky:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Faktorizácia zoskupením výrazov

Na nasledujúcom obrázku je polynóm so štyrmi výrazmi, ktoré sa musia faktorizovať. Prvé tri výrazy majú spoločné „x“, ale posledný nie. Nemôžeme ani povedať, že numerické koeficienty sú násobky rovnakého faktora.

Môže vám slúžiť: konvexný polygón: definícia, prvky, vlastnosti, príklady

Pokúsime sa však zoskupiť podmienky do dvoch častí s zátvorkami, ktoré sú označené žltou šípkou: prvé dva výrazy majú spoločné „x“, zatiaľ čo posledné dva majú spoločné, že koeficienty sú násobky 5.

Zohľadňujeme tieto dve skupiny (modrá šípka). Teraz musí čitateľ poznamenať, že pri faktoringu vyjde nový spoločný faktor: zátvorka (3x+2).

Dotyk faktory po druhýkrát (ružová šípka), pretože (3x+2) je bežný faktor x a 5.

Obrázok 2. Príklad toho, ako zohľadniť zoskupenie podmienok. Zdroj: f. Zapata.

Korene polynómu

Sú hodnoty premennej, ktoré rušia polynóm. Ak je to polynóm, ktorého premenná je „x“, ako sme videli, pretože ide o nájdenie hodnôt x tak, že pri výmene je získaná číselná hodnota 0.

Faktorizácia je metóda na nájdenie nuly v niektorých polynómoch. Pozrime sa na príklad:

- Cvičenie vyriešené 5

Nájdite nuly Trinomial X² -2x - 3

Riešenie

Zohľadňujeme trinomiálny. Môžeme však vykonať postup od spoločnosti Tanteo. Trinomial sme napísali ako produkt dvoch faktorov, ako je tento:

X² -2x - 3 = (x) . (X)

V prvej zátvorke je umiestnené prvé trinomické znamenie, videné zľava doprava. Toto je znamenie (-). V druhej zátvorke je produkt dvoch príznakov, ktoré sa objavia po termíne s x²:

(-) x (-) = +

Týmto spôsobom bude vidieť faktorizáciu:

X² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Teraz musíte hľadať dve čísla A a B, ktoré sa vložia do prázdnych priestorov. Ak by sa násobenie malo byť 3:

• A X B = 3

A musia tiež dodržiavať skutočnosť, že keď je výsledkom, je to 2, pretože príznaky zátvoriek sú rôzne.

(Ak by to boli rovnaké príznaky, mali by sa hľadať dve čísla A a B, ktoré pri pridávaní dali koeficient pojmu s „x“). Tak:

• A - B = 2

Čísla, ktoré spĺňajú obidve podmienky, sú 3 a 1, pretože:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Najvyššie číslo je umiestnené v zátvorkách ľavej strany a faktorizácia zostáva nasledovne:

X² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Nuly polynómu sú hodnoty X, ktoré rušia každý faktor:

Môže vám slúžiť: párne čísla

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Čitateľ môže overiť, že nahradenie týchto hodnôt v pôvodnom trinomiáli je zrušené.

Ostatné cvičenia

- Cvičenie vyriešené 6

Faktor nasledujúci polynóm: p (x) = x²-1.

Riešenie

Nie vždy je potrebné používať rozpúšťadlo. V tomto príklade je možné použiť pozoruhodný produkt.

Prepisovanie polynómu nasleduje.

Pomocou pozoruhodného produktu 1 je možné rozdiel štvorcov, polynóm P (x) faktorovať nasledovne: p (x) = (x+1) (x-1).

To tiež naznačuje, že korene p (x) sú x1 = -1 a x2 = 1.

- Cvičenie vyriešené 7

Skutočnosť nasledujúci polynóm: q (x) = x³ - 8.

Riešenie

Existuje pozoruhodný produkt, ktorý hovorí: A³-B³ = (A-B) (A²+AB+B²).

Ak to viete, môžete prepísať polynóm q (x) nasledovne: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Teraz, pomocou pozoruhodného opísaného produktu, je faktorizácia polynómu q (x) 4).

Chýbajúce faktorovanie kvadratického polynómu, ktorý vznikol v predchádzajúcom kroku. Ale ak je to pozorované, pozoruhodné číslo produktu 2 môže pomôcť; Preto je konečná faktorizácia q (x) daná q (x) = (x-2) (x+2) ².

To hovorí, že koreň q (x) je x1 = 2 a že x2 = x3 = 2 je ďalším koreňom q (x), ktorý sa opakuje.

- Cvičenie vyriešené 8

Faktoriz r (x) = x² - x - 6.

Riešenie

Ak nie je možné zistiť pozoruhodný produkt alebo nie je k dispozícii potrebná skúsenosť s manipuláciou s výrazom, prebieha použitie rozlíšenia. Hodnoty sú nasledujúce a = 1, b = -1 a c = -6.

Pri ich výmene vo vzorci je x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Odtiaľ sú dve riešenia, ktoré sú nasledujúce:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Preto môže byť polynóm R (x) faktoring ako r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Cvičenie vyriešené 9

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Riešenie

V tomto cvičení môžete začať vyňatím spoločného faktora X a získa sa, že h (x) = x (x²-x-2).

Preto zostáva iba zohľadniť kvadratický polynóm. Opäť s rozpúšťadlom musia byť korene:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Preto korene kvadratického polynómu sú x1 = 1 a x2 = -2.

Záverom je, že faktorizácia polynómu H (x) je daná H (x) = x (x-1) (x+2).

Odkazy

1. Plechovka. 1977. Elementárna algebra. Venezuelské kultúrne vydania.
2. Korene polynómu. Čo sú a ako sa počítajú krok za krokom. Získané z: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Sála.
4. Stewart, J. 2006. Predbežné vycvičenie: matematika na výpočet. 5. Vydanie. Učenie sa.
5. Zill, D. 1984. Algebra a trigonometria. McGraw Hill.