Poissonový koeficient koeficientu, vzorce, hodnoty, príklady

On Poissonový koeficient Je to bezrozmerné množstvo, charakteristické pre každý materiál. Je to svedectvo o deformácii materiálu pred uplatňovaním určitého úsilia.

Ak materiál, ktorý prechádza napätím alebo kompresiou, trpí deformáciou, kvocient medzi priečnou deformáciou a pozdĺžnou deformáciou je presne Poissonový koeficient.

postava 1. Poissonov koeficient meria vzťah medzi pozdĺžnym rozťahovaním a priečnymi zúžením. (Pripravil Ricardo Pérez)

Napríklad gumový valec, ktorý prechádza napätím na svojich koncoch. Obrázok 1 zobrazuje tyč, ktorej pôvodné rozmery sú: dlhý L a priemer d.

Stĺp je vystavený T -napätia podľa jeho koncov av dôsledku tohto napätia utrpí úsek, takže nová dĺžka je L '> l. Ale pri natiahnutí sa objavuje aj zúženie jeho priemeru aj na novú hodnotu: D ' < D.

Kvocient medzi napínaním (pozitívnym) a zúžením (negatívnym) vynásobeným (-1) je kladné číslo medzi 0 a 0,5. Toto číslo je tak -called Poisson ν koeficient (grécke písmeno).

[TOC]

Poissonový koeficient

Na výpočet Poissonového koeficientu je potrebné určiť deformáciu pozdĺžnej a priečnej jednotky.

Deformácia pozdĺžnej jednotky ε_L Je to úsek rozdelený medzi pôvodnú dĺžku:

ε_L = (L ' - l) / l

Podobne priečna jednotná deformácia ε_Tón Je to radiálne zúženie rozdelené medzi pôvodný priemer:

ε_Tón = (D ' - d) / d

Poissonový koeficient sa preto vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

ν = - ε_Tón / ε_L 

Vzťah s modulom elasticity a modulom tuhosti

Poisson ν koeficient súvisí s modulom A elasticity (alebo mladého modulu) a s modulom tuhosti G, podľa nasledujúceho vzorca:

Môže vám slúžiť: geometrická optika: aké štúdie, zákony, aplikácie, cvičenia

ν = e /(2g) - 1

Poissonov koeficient hodnoty pre materiály

Obrázok 2. Nerezová oceľ má Poissonov koeficient medzi 0,30 a 0,31. Zdroj: Pixabay.

Príklady výpočtu

Príklad 1

Tyč určitého plastového materiálu má dĺžku 150 mm a kruhový úsek s priemerom 20 mm. Ak je kompresná sila 612,25 kg-f vystavená kompresnej sile, pozoruje sa skrátenie 14 mm a súčasne sa zvýši o 0,85 mm v priemere tyče.

Vypočítať:

a) Pozdĺžna jednotná deformácia.

b) priečne jednotná deformácia.

c) Poissonov koeficient tohto materiálu.

d) Modul mladej pružnosti zodpovedajúci materiálu.

e) modul tuhosti pre tento plast.

Roztok

Pripomeňme, že deformácia pozdĺžnej jednotky εL je úsek vydelený pôvodnou dĺžkou:

εl = (l ' - l) / l

εl = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Všimnite si, že pozdĺžna jednotná deformácia je bez rozmeru av tomto prípade bola negatívna, pretože došlo k zníženiu jej pozdĺžnej dimenzie.

Riešenie B

Podobne aj jednotná priečna deformácia εT je radiálne zúženie, vydelené pôvodným priemerom:

εt = (d ' - d) / d

εt = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Priečne jednotná deformácia bola pozitívna, pretože došlo k zvýšeniu priemeru tyče.

Riešenie c

Na výpočet Poissonovho koeficientu musíme pamätať na to, že je definovaný ako negatívny kvocient medzi priečnou deformáciou a pozdĺžnou deformáciou:

ν = - εt / εl 

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Malo by sa pamätať na to, že Poissonov koeficient je bez pozitívneho rozmeru a pre väčšinu materiálov je medzi 0 a 0,5.

Môže vám slúžiť: Darcy Law

Riešenie d

Youngov modul pružnosti, označený písmenom E, je v Hookeovom zákone konštantná proporcionalita. Prostredníctvom E normálne úsilie σl súvisí s jednotkovou deformáciou εL takto:

σl = e εl 

Normálne úsilie je definované ako kvocient medzi normálnou silou (v tomto prípade rovnobežným s osou tyče) a prierezom:

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

V tomto cvičení je sila F 612,25 kg-f, ktorá bude vyrobená pre Newtonov, čo je jednotka sily:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 n = 6000 n = 6 kN

Pokiaľ ide o časť, prierez A je:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 m^2

Nakoniec normálne úsilie použité na bar je:

σl = f / a = 6000 n / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 PA = 19 098 MPA

Na výpočet Youngovho modulu elasticity vyčistíme a Hookeov zákon σl = e εl:

E = σl / εl = 19.098.593 PA / 0,0933 = 204,7 MPa

Riešenie e

Modul r rigidity súvisí s Youngovým modulom EG a koeficientom Poissona ν podľa tohto vzorca:

E / (2 g) = 1 + ν 

Odtiaľ môžete vyčistiť g:

G = e / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Príklad 2

Máte kábel s priemerom 4 mm a 1 m. S vedomím, že medený mladý modul je 110000 MPa a že jeho Poissonov koeficient je 0,34, odhaduje natiahnutie a zúženie priemeru, že drôt trpí, keď hmotnosť 100 kg-f.

Riešenie

V prvom rade je potrebné vypočítať normálne úsilie o trakciu, ktoré hmotnosť vynaloží na drôt podľa tohto vzorca:

Môže vám slúžiť: Vektory vo vesmíre: Ako graf, aplikácie, cvičenia

σl = f / a = f / (π / 4 * d^2)

Sila F je 980 N a prierez je:

A = (π/4 * d^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1,2566 * 10^-5 m^2

Potom je úsilie trakcie:

σl = 980 N / 1,2566 * 10^-5 m^2 = 77.986.000 PA

Výpočet deformácie jednotného drôtu

Modul mladej pružnosti, označený písmenom E, je konštanta proporcionality v Hookeovom zákone, ktorá sa týka normálneho úsilia σl s jednotkovou deformáciou εL:

σl = e εl 

Odtiaľ je možné vyčistiť pozdĺžnu jednotnú deformáciu medeného drôtu:

εl = σl / e = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10^-4

Výpočet priečnej jednotnej deformácie

Na druhej strane, aby ste poznali priečnu jednotnú deformáciu, použije sa Poisson Coeficient:

ν = - εt / εl 

Nakoniec musíte priečnu jednotnú deformáciu: 

εt = -ν εl = -0,34 * 7,09 * 10 ^-4 = -2,41 * 10 ^-4

Kábel Absolútne výpočet

Nakoniec, aby ste poznali absolútne napínanie kábla, musí sa uplatniť nasledujúci vzťah:

ΔL = εl * l = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm

To znamená, že kábel sotva natiahol 0,709 milimetrov.

Výpočet poklesu priemeru

Na získanie absolútneho zmenšovania priemeru používame nasledujúci vzorec:

ΔD = εt * D = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^-4 mm = -0 000964 milimetre.

Toto zúženie priemeru je také malé, že je ťažké oceniť voľným okom, dokonca aj jeho meranie vyžaduje vysoký presný prístroj.

Odkazy

1. Pivo f ... mechanika materiálu. 5. Vydanie. 2010. MC Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mechanika materiálov. Ôsme vydanie. Sála. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mechanika materiálov. Ôsme vydanie. Učenie sa. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Princípy s aplikáciami. 6. vydanie. Sála. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Všeobecné fyzikálne poznámky. Žobrák. 87-98.