Diskrétna náhodná premenná

Vysvetľujeme, čo je diskrétna náhodná premenná, jej charakteristiky, uvádzame príklady a riešime cvičenia

Čo je diskrétna náhodná premenná?

A diskrétna náhodná premenná Je to numerická hodnota získaná náhodne v dôsledku experimentu a ktorá má iba konečné alebo účtovné hodnoty. To znamená, že vzhľadom na dve po sebe nasledujúce hodnoty premennej neexistuje medzi nimi žiadna stredná hodnota.

Príkladmi diskrétnych premenných je počet okvetných lístkov kvetu, koľko tvárí (alebo krížov) sú súčasne dve mince, počet členov alebo deti rodiny, počet ľudí žijúcich v dome a mnoho ďalších.

Vo všetkých prípadoch sú výsledky vykonávania experimentu účtovníctvo. Je možné definovať náhodnú premennú nazývanú „x = počet detí rodiny“ a táto premenná môže mať hodnoty 0, 1, 2, 3…

Takže vo všeobecnom prípade je diskrétna náhodná premenná identifikovaná podľa:

X = x₁, X₂, X₃... X_{klimatizovať}

Kde x₁, X₂, X₃... sú možné výsledky experimentu.

Často sa zaujíma o poznanie pravdepodobnosti výskytu každého z týchto možných výsledkov označených ako:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

A tak ďalej pre každú hodnotu x. Index „i“ sa pohybuje od 1 do k: i = 1,2,3… k.

Tento zoznam, ktorý obsahuje pravdepodobnosti každého možného výsledku experimentu, sa nazýva rozdelenia pravdepodobnosti ani pravdepodobnosť, za predpokladu, že náhodná premenná je číselná, pravdepodobnosť každej udalosti je medzi 0 a 1 a súčet všetkých pravdepodobností sa rovná 1.

Príklady diskrétne náhodné premenné

Diskrétne náhodné premenné sú vždy číselné a účtovné. Zvyčajne merajú počet prípadov, keď dôjde k udalosti, napríklad:

• Počet hovorov prijatých call centrom jedného popoludnia.
• Výška bankových vkladov vyrobených za jeden deň.
• Spustite kocky a prečítajte si číslo, ktoré sa zobrazuje na hornej strane.
• Počet tvárí, ktoré vyjdú pri spustení dvoch rovnakých mien.
• Študenti, ktorí schválili skúšku Algebry I, náhodne vybrané zo skupiny 100 inžinierskych študentov z univerzity.
• Dospelí členovia stáda slonov v africkej rezervácii.
• Počet detí na rodinu v určitom meste.
• Ľudia, ktorí sa zúčastňujú na polnočnej filmovej funkcii.
• Počet automobilov, ktoré prechádzajú mýtnou na diaľnici.

Môže vám slúžiť: Cruz Product

Celé a frakčné hodnoty

Všetky spomenuté diskrétne náhodné premenné majú celé hodnoty. Diskrétne náhodné premenné sa však dajú definovať pomocou frakčných hodnôt, napríklad náhodnou premennou F danú pomocou:

F = Frakcia chybných kusov náhodným výberom 50 prvkov veľa

Možné hodnoty sú nasledujúce:

• Nenašiel sa žiadny chybný kus: f₁= 0
• Iba 1 chybný kúsok 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Dva chybné kúsky sa nachádzajú v 50: f₃= 2/50 = 0.04
• A tak ďalej, až do prípadu, keď nie je zvolení 50 kusov: f₅₁ = 50/50 = 1

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1: Identifikujte diskrétne náhodné premenné

Majú náhodné premenné dané:

X = Počet zemetrasení ročne sa vyskytlo v určitej geografickej zóne

Y = presná dĺžka ľudskej nohy

Z = veľkosť obuvi dospelých

R = trvanie hovoru do a Call centrum

Sú všetky diskrétne náhodné premenné? Odôvodnite odpoveď.

Riešenie

Premenné X a Z sú diskrétne, pretože počet zemetrasení za rok je účtovná suma. Na druhej strane, veľkosti obuvi sú konečné, číslovanie sa môže líšiť v závislosti od krajiny, napríklad 6, 6.5, 7 ..., ale je to tiež konečná suma.

Na druhej strane, presná dĺžka ľudskej nohy môže mať akúkoľvek hodnotu. Napríklad medzi dvoma ľuďmi, ktorých meranie nohy 23.5 a 23.8 cm, vždy je možné nájsť iného, ​​ktorého meranie chodidla, povedzme 23.6 cm. Tento typ premennej je tiež náhodný, ale pokračuje.

Pokiaľ ide o čas, ktorý trvá telefonát, nejde o diskrétnu premennú, pretože medzi dvoma krát₁ a t₂ trvanie.

Môže vám slúžiť: celé čísla

Cvičenie 2: Súčasné dve mince

Experiment spočíva v súčasnom uvedení na trh dve rovnaké meny, pre ktoré je definovaná náhodná premenná x = počet tvárí. Nájsť:

a) Hodnoty, ktoré x berie.

b) rozdelenie pravdepodobností

Roztok

Možné výsledky experimentu sú nasledujúce: žiadne drahý (dva tuleň), a drahý a a tuleň, a tuleň a jeden drahý A nakoniec, dvaja tváre.

Výsledky sú zhrnuté takto: popieranie tváre ako C a tesnenia, sú zhrnuté takto:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (Dc)

Táto sada je známa ako vzorový priestor.

Preto náhodná premenná x berie hodnoty: 0 (bez tváre), 1 (jedna tvár v oboch minciach) a 2 (bola drahá v oboch minciach). Pretože výsledky sú účtovníctvo, premenná je okrem náhodného diskrétneho:

X = 0,1,2

Riešenie B

Keď sa spustí minca, ak je úprimná, drahý ani tuleň Majú rovnakú šancu odísť, rovnajúce sa ½. Preto, ak sa dve mince uvedú súčasne, pretože výsledky sú nezávislé, pretože mince sa navzájom neovplyvňujú, pravdepodobnosť získania dvoch strán (alebo dvoch krížov) vynásobí pravdepodobnosť každej udalosti každej udalosti.

Ak sa získajú dva kríže, znamená to, že nevyšla žiadna tvár:

P (2 kríže = 0 tvárí) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Na druhej strane pravdepodobnosť kombinácie CS alebo SC je súčet týchto dvoch priaznivých pravdepodobností:

P (1 tvár) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Nakoniec pravdepodobnosť získania dvoch tvárí je:

P (2 tváre) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Upozorňujeme, že toto rozdelenie pravdepodobnosti spĺňa požiadavky stanovené na začiatku:

Pravdepodobnosť každej udalosti je medzi 0 a 1.

Pridaním troch pravdepodobností, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Môže vám slúžiť: kolineálne vektory Histogram ukazuje rozdelenie pravdepodobnosti pre spustenie dvoch rovnakých mien. V horizontálnej osi je umiestnená náhodná premenná, stred stĺpca zodpovedá hodnote premennej. A vo vertikálnej osi je pravdepodobnosť umiestnená v tomto prípade percento. Zdroj: f. Zapata.

Cvičenie 3: Dhodíš vyvážené kocky

Experiment spočíva v tom, že dvakrát hodí vyvážené kocky. Definovaná náhodná premenná je:

X = Počet násobku 1 vyjde

a) Uveďte možné výsledky experimentu a určte hodnoty náhodnej premennej.

b) Nájdite distribúciu svojich pravdepodobností.

Roztok

Pretože ide o vyvážené kocky, všetky tváre majú rovnakú pravdepodobnosť odchodu a keďže kocky je kocka so šiestimi tvárami, táto pravdepodobnosť sa rovná 1/6.

Možné výsledky experimentu možno syntetizovať takto:

• Nedostanete 1 alebo raz: x₁= 0
• 1 vyjde iba raz: x₂= 1
• Obe spustenia sú 1: x₃= 2

Preto je náhodná premenná X diskrétna a má tri hodnoty:

X = 0,1,2

Riešenie B

Pokiaľ ide o rozdelenie pravdepodobností tejto premennej, prvá vec je všimnúť si, že sada všetkých možných výsledkov pozostáva z 36 párov, ktoré tvoria vzorový priestor:

Ω = (1,1), (1,2), (1,3)… (1,6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5,6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Teraz sa tieto páry počítajú, v ktorých sa nezíska 1:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5,3)…; (6.2), (6.3) ...

Celkovo existuje 25 párov, v ktorých 1 nevyjde, preto pravdepodobnosť získania niektorého z týchto kolegov je:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Potom kolegovia, v ktorých 1 sa objaví iba raz:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Preto existuje 10 párov:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Nakoniec existuje iba jeden pár, v ktorom 1 vyjde dvakrát: (1,1). Tak:

p₃ = P (x = 2) = 1/36