Ten faktorový zápis Používa sa na výpočet produktu prvého n prírodné čísla, to znamená kladné celé čísla, od 1 do hodnoty n. Je označený znakom obdivu a nazýva sa n faktor:

n! = 1,22… . (N-1) ⋅N

Výpočet faktoriálu čísla je jednoduchý, napríklad produkt prvých šiestich prírodných čísel je vyjadrený podľa:

6! = 1,2222222206

postava 1. Faktoriálny zápis môže byť napísaný kompaktným symbolom produktu od k = 1 do n. Zdroj: f. Zapata.

Faktory sa objavujú v otázkach, ako je Newtonova binomická a kombinatorická teória, ktorá sa často používa pri výpočte pravdepodobností. V nich sa často objavujú hovory Kombinácia ktoré sa dajú vyjadriť ako faktoriálne.

Zápis n! Je to vytvorenie francúzskeho lekára a matematické. Nezávisle, faktoriály objavili aj ďalší francúzsky matematik: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Contemporary.

Rovnako ako v súhrnoch, aj v súhrne existuje spôsob, ako vyjadriť produkt prvých n prírodných čísel súhrnným spôsobom:

 Symbol podobný kapitálovému písmu „PI“, ktoré sa objavuje vo výraze, sa nazýva „produkcia“ alebo „multiplikačný“.

Vlastnosti faktoriálneho zápisu

Nech M a N dve pozitívne celé čísla, je splnené, že:

1. Z pohodlia bolo dohodnuté na definovanie 0! Ako 1, to znamená: 0! = 1.
2. Hodnota 1! = 1
3. Áno! = b!, To znamená, že a = b, za predpokladu, že a⋅b ≠ 0. Výnimkou sú hodnoty 0 a 1, od 1! = 1 = 0!, Ako už bolo uvedené, ale je zrejmé, že 1 ≠ 0.
4. Áno m < n, entonces m! < n! a preto m! Je obsiahnutý v n!:
   n! = 1 škome
5. Pre n väčšie alebo rovné 2 musíte:
   n! = N⋅ (n-1)!
   Pretože podľa definície:
   n! = [1,222,324… 5… . (N-1)] ⋅n
   Výraz obsiahnutý v štvorcových držiakoch je presne (N-1)!
6. N⋅n! = (n+1)! - n!
   V skutočnosti zvyšovanie operácií pravej strany rovnosti:
   (N+1)! - n! = [1 ⋅ 2 štrítka 4 šzere 5… n ⋅ (n+1)] - [1 ⋅2⋅ 3 šce 4 ⋅ 5… . n] =
   = [1,222,3,4 ⋅ 5… . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅22 4 ⋅5… . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Môže vám slúžiť: Konvergenčné rádio: Definícia, príklady a cvičenia vyriešené

Kofaktoriálne, polotata alebo kvázi-fátory čísla

Semi -aktoria prírodného čísla závisí od toho, či je párne alebo nepárne. V zápise sa použije dvojité známky obdivu alebo dvojakého faktoriálu a definované nasledujúcim pravidlom:

-Ak n je párne:

n!! = 2 štúp

-Ak n je čudné:

n!! = 1 štúp

Vzorce pre semifaktoriály

Nasledujúce vzorce pomáhajú ľahšie vypočítať polo-faktory, najmä pokiaľ ide o veľké počty.

V prípade prípadu je pozorované nasledujúce, že n je rovnomerné:

n!! = (2⋅1) ⋅ (2 št) ⋅ (2 štrí) ⋅ (2 špióna)… 2 šcenčné.…) ⋅ [1ple2 Dobre 3 - 4… (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

A ak je n zvláštne, potom:

n!! = 1 štúp

Násobenie a delenie súčasne [2 . 4 . 6… (n - 1)], výraz zostáva:

n!! = [1mero

Ale suma medzi kľúčmi je:

1 šlo. 3 šu . (N -1) ⋅N

A toto je n!, Ako je uvedené vyššie, potom pri výmene:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)]

To, čo je na námestí, je prepísané takto:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Preto:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6… (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Príklady

Vyššie uvedené vlastnosti sa uplatňujú na zjednodušenie výrazov, ktoré obsahujú faktoriálne, pričom sa berú do úvahy, že vo všeobecnosti nie sú tieto výrazy rovnocenné:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Príklad 1

Pri priamom výpočte týchto faktorov:

do 5!

Môže vám slúžiť: Pravdepodobnosť frekvencie: koncept, ako sa vypočíta a príklady

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Získajú sa hodnoty:

do 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2 štvorstranne = 8

d) 11!! = 11 št 9 ⋅7 švet 3 škomorod

e) 14!! 3

f) (2n+1)!! = 1 šlo 3,5-7… (2N-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Výsledky a) až do e) môžu byť tiež potvrdené kalkulačkou. Vedecké kalkulačky majú funkciu na priame výpočet hodnoty x!.

Ako je zrejmé, výsledky faktorov, s výnimkou malých počtov, sú hodnoty, ktoré rastú veľmi rýchlo.

Príklad 2

Pri použití vlastností sa dajú zjednodušiť nasledujúce frakčné výrazy:

Vyriešené cvičenia

Cvičenie vyriešené 1

Skontrolujte, že pomocou vzorca spoločného faktora tieto výsledky, ktoré boli predtým získané:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Roztok

Pretože 11 je nepárne, hodnoty sa starostlivo nahradia v príslušnom vzorci:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

A potom je výsledok zjednodušený vlastnosťami faktorov:

jedenásť!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (11,10,9 ⋅ 8 švet6) ÷ 32 = 10395

Ako sa očakávalo, rovnaký výsledok sa získal ako výpočet 11!! Priamo je však použitie vzorca výhodné pre veľkú hodnotu N, pretože umožňuje vyjadriť dvojitý faktor ako produkt dvoch faktorov.

Riešenie B

Uplatňovaním semifaktorového vzorca pre N TAR a výmenou hodnôt sa získa nasledujúce:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Cvičenie vyriešené 2

Ako faktoriálne kvocienty napíšte nasledujúce operácie:

a) 7 šind

b) N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Roztok

7 šind! / 2!

Riešenie B

N⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Riešenie c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Cvičenie vyriešené 3

K dispozícii sú 4 štvorce farieb: modrá, oranžová, fialová a zelená a chcete sa navzájom lokalizovať za druhým na stole. Koľko spôsobov je možné umiestniť štvorce?

Môže vám slúžiť: Konštantná funkcia: Charakteristiky, príklady, cvičenia Obrázok 2. Koľko kombinácií je možné vyrobiť zarovnaním štyroch štvorcov farieb?. Výsledok možno vyjadriť ako zdroj faktoriálneho čísla: F. Zapata.

Riešenie

Existuje niekoľko spôsobov, ako zlikvidovať štvorce, napríklad najskôr opraviť farbu. Tu je niekoľko možností:

-Modrá, oranžová, fialová a zelená

-Modrá, zelená, oranžová a fialová

-Modrá, fialová, zelená a oranžová

A tak ďalej. Čitateľ môže overiť, či existuje 6 kombinácií štvorcov, ktoré začínajú modrou farbou.

Všimnite si, že keď nastavíte farbu ako prvú možnosť, môžete opraviť ďalšie 3 farby. Akonáhle je druhý opravený, sú tu 2, a akonáhle je táto farba vybraná, zostáva iba 1 farba.

Toto sa dá vyjadriť produktom: 4 štrí,322, čo je faktoriál 4!:

4! = 4 šlo 3,22,1 = 24

Dospelo sa k záveru, že celkovo existuje 24 možných kombinácií.

Týmto spôsobom organizácie sa volá permutácia, v ktorom poradie, v ktorom sú prvky umiestnené.

Cvičenie vyriešené 4

Vyriešiť nasledujúce rovnice:

a) (x² + X)! = 720

Roztok

Na začiatku bolo vidieť, že 6! = 720, preto:

(X² + X)! = 6!

Potom musí byť množstvo medzi zátvorkami 6:

X² + x = 6

Toto je rovnica druhého stupňa v X:

X² + x - 6 = 0

Túto rovnicu sa dá vyriešiť pomocou všeobecného vzorca alebo trinomiálnou faktorizáciou.

Pomocou tejto poslednej metódy je trinomén faktorizovaný takto:

X² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Riešenia rovníc sú x₁ = -3 a x₂ = 2

Riešenie B

Čitateľ aj menovateľ sú faktorom, s cieľom zjednodušiť čo najviac, že ​​výraz môže byť. Ak chcete začať, v menovateľovi môžete byť faktor (x+7)!

S týmto je možné zrušiť termín (x+7)!, zostať:

Ako (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Menovateľ môže byť zrušený a zostáva:

(x+8)! = 14!

Vlastnosť 3 je jednoduchá rovnica:

x+8 = 14

x = 6

Odkazy

1. Hoffman, J.G. Výber matematických problémov. Edimatizovať. Sphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Diskrétna matematika. Séria Schaum. Tretí. Vydanie. McGraw Hill.
3. Matematika je zábava. Faktorová funkcia. Získané z: Mathisfun.com.
4. Šikovný. Faktor, na čo ich používame?. Získané z: Smartick.je.
5. Stewart, J. 2006. Predbežné vycvičenie: matematika na výpočet. 5. Vydanie. Učenie sa.