Trinomický

Trinomial je polynóm s tromi výrazmi. Zdroj: f. Zapata.

Čo je to trinomial?

Trinomial je polynóm, ktorý pozostáva z uvedeného súčtu troch rôznych výrazov, to znamená, že je postavený algebraicky tromi monomialmi rôznych stupňov, buď jednej alebo viacerým variabilným. Sú to veľmi bežné polynómy v algebre.

Niektoré príklady trinomiálov sú nasledujúce:

• X² + 5x - 3 (stupeň 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial z stupňa 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial of Absolute Stupeň 3, stupeň 3 v X a 2. stupňa v y)

Prvá a druhá z týchto trinomialov je jednej premennej, v tomto prípade premenná „x“, zatiaľ čo tretím trinomiálom sú dve premenné „x“ a „y“.

Príklady trinomiálov

Existuje niekoľko typov trinomiálov, ktoré sú uvedené v mnohých aplikáciách, medzi ktoré patria:

Perfektný štvorcový trinomén

Pri vývoji štvorca súčtu alebo štvorca rozdielu sa získa perfektný štvorcový trinomial. Oba vývoj je známy ako pozoruhodné výrobky.

Najprv máte štvorec súčtu: (a + b)². Pri vývoji tohto výrazu dostanete:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

Dva centrálne výrazy sú identické a sú redukované na 2a ∙ B, preto:

(A + b)² = a² + 2A ∙ B + B²

Trinomial a² + 2A ∙ B + B² Obsahuje dva dokonalé štvorce: a² a b², zatiaľ čo zostávajúci termín sa rovná dvojitým produktom dvoch pojmov pôvodného binomialu.

Štvorec rozdielu je trinomén podobný predchádzajúcemu, s výnimkou negatívneho znaku, ktorý ovplyvňuje dvojitý produkt pojmov pôvodného binomialu:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Podobné výrazy sa opäť znížia na jeden termín a získajú sa, že:

Môže vám slúžiť: Moivre veta

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

Už nie je možné znížiť výsledok.

Tieto pozoruhodné, ľahko zapamätateľné výrobky spájajú napríklad perfektný štvorcový trinomén s štvorcom zodpovedajúceho binomialu:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Malo by sa poznamenať, že nie všetky dokonalé štvorcové trinomialy sú premenné alebo stupňa 2. Tu sú príklady tohto typu trinomiálov s dvoma a viacerými premennými a tiež s rôznymi stupňami 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + a²
• (2z² + a)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²a + a²
• (5xy³ - z)² = 25x²a⁶ - 10 xy³z + z²

Trinomial formy X² + BX + C

V tomto trinomiáli je iba jeden z podmienok perfektný štvorcový, v tomto prípade je to x² a jeho numerický koeficient je 1. Nasledujúci termín B zajtra je lineárny a posledný termín je nezávislý termín. Príklady tohto druhu trinomialov sú:

• X² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• a² - 4 ∙ y + 3 (b = −4; c = 3)
• m² - 12 ∙ M + 11 (B = −12; C = 11)

Trinomial formy sekery² + BX + C

Pripomína predchádzajúce, s výnimkou toho, že koeficient kvadratického pojmu sa líši od 1, ako v týchto trinomialoch:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = −5; c = −2)
• 6 rokov² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2 m² + 29 ∙ M + 90 (A = 2; B = 29; C = 90)

Trinomická faktorizácia

Veľmi častá algebraická operácia je trinomická faktorizácia, ktorá spočíva v ich písaní ako produktu rôznych faktorov 1. Existujú špecifické postupy pre každý z opísaných trojíc.

Perfektná štvorcová trinomická faktorizácia

Môžu byť faktorizované inšpekciou z pozoruhodných výrobkov:

(A + b)² = a² + 2A ∙ B + B²

(A - b)² = a² - 2A ∙ B + B²

Kroky na zohľadnenie perfektného štvorcového trinomialu sú:

1.- Overte, či trinomial obsahuje dva dokonalé štvorce² a b², Obidve výrazy musia predchádzať rovnaké znamenie, zvyčajne znakom +. Ak predchádza obom znakom - môže to byť faktor bez problémov.

Môže vám slúžiť: Perfect Square Trinomial

2.- Stanovte hodnoty a a b extrahovaním druhého druhu koreňa a² a b².

3.- Potvrdzujte, že tretí termín je dvojitým produktom A a B.

Trinomická faktorizácia formy X² + BX + C

Toto je trinomial s jedinečným kvadratickým pojmom, ktorý je napísaný ako dva binomický produkt:

X² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Kde R a S sú dve čísla na určenie.

Všimnite si, že pri vývoji pravej strany prostredníctvom distribučnej vlastnosti sa získa:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Takže, aby tento výraz odrážal pôvodný trinomén, čísla U a V musia spĺňať nasledujúce podmienky:

R ∙ s = c
R + s = b

Niektoré trinomialy formy X² + BX + C nepripúšťajte faktorizáciu touto metódou, ale môžu byť faktorom pomocou všeobecného vzorca alebo vzorca rozpúšťadla.

Trinomická faktorizácia formy Ax² + BX + C

Postup na zohľadnenie tohto typu trinomiálov je:

1. Vynásobte a rozdeľte trinomiál koeficientom „a“
2. Vytvorte produkt medzi „A“ a prvým a tretím termínom trinomialu a zostane produkt bez toho, aby ste urobili druhý termín.
3. Postup opísaný v predchádzajúcej časti sa uplatňuje na trinomén, to znamená, že je napísaný ako produkt dvoch binomiálov, ale v tomto prípade prvé funkčné obdobie každého binomialu nie je „x“, ale „A ∙ x“.
4. Vyžadujú sa dve čísla R a S, že ∙ c = r ∙ s a tiež r + s = b
5. Nakoniec, binomialy, ktoré sú, pozri cvičenie vyriešené 3, sú čo najväčšie zjednodušené.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Nájdite trinomén, ktorý výsledkom je pri vývoji nasledujúceho pozoruhodného produktu: (4x - 3y)²

• Riešenie

Uplatňuje sa pozoruhodný vzorec produktu pre štvorec rozdielu, čo vedie k:

Môže vám slúžiť: obdĺžnikové súradnice: príklady a cvičenia vyriešené

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Cvičenie 2

Fakt Trinomial:

X² +  5x + 6

• Riešenie

Toto je trinomial vo forme X² + BX + C, s B = 5 a C = 6, takže sa môžete pokúsiť zohľadniť pomocou vyššie opísaného postupu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť dve čísla R a S, ktoré sa vynásobia, získané 6 a pridané v 5:

R ∙ s = 6 a r + s = 5.

Požadované čísla sú r = 3 a s = 2, pretože spĺňajú tieto podmienky, preto:

X² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Čitateľ je ponechaný ako cvičenie, aby sa overilo, že vývoj pravej strany sa ľahko dosiahne k pôvodnému trinomiálu.

Cvičenie 3

Faktorizovať 3x² - 5x - 2.

• Riešenie

Toto je trinomiál formy sekery² + BX + C, s a = 3, b = −5 a c = −2. Proces je:

-Vynásobte a rozdeľte a = 3:

Vytvorte produkt „A“ pre prvý a tretí termín, pričom produkt je uvedený v druhom termíne:

Teraz musíte napísať dva binomický produkt, ktorého prvý termín je 3x a hľadajte dve čísla R a S tak, že:

• Keď sa vynásobí v -6
• A keď sa pridáva algebraicky, získa sa −5

Tieto čísla sú r = −6 a s = 1:

Nakoniec je výsledný binomický produkt zjednodušený:

Navrhované cvičenia

Faktor nasledujúcich trinomiálov: ²

1. X² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Odkazy

1. Plechovka. 1977. Elementárna algebra. Venezuelské kultúrne vydania.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Sála.
3. Stewart, J. 2006. Predbežné vycvičenie: matematika na výpočet. 5. Vydanie. Učenie sa.
4. Zill, D. 1984. Algebra a trigonometria. 1. Vydanie. McGraw Hill.
5. Zill, D. 2008. Predbežné náskoky s výpočtovými pokrokmi. 4. Vydanie. McGraw Hill.