Matematika

Multiplikatívne techniky počítania princípov a príkladov

Multiplikatívne techniky počítania princípov a príkladov

Aký je multiplikačný princíp?

On multiplikačný princíp Je to technika, ktorá sa používa na riešenie problémov s počítaním na nájdenie riešenia bez toho, aby bolo potrebné uviesť zoznam svojich prvkov. Je tiež známy ako základný princíp kombinatorickej analýzy; Je založená na následnom násobení, aby sa určilo spôsob, akým sa môže vyskytnúť udalosť.

Táto zásada to uvádza, že ak je rozhodnutie (D1) Sa dá brať n spôsobmi a iným rozhodnutím (D2) Mneras je možné vziať, celkový počet spôsobov, akými je možné rozhodnutia D prijať1 a d2 Bude to rovnaké ako násobenie n * m. Podľa zásady sa každé rozhodnutie prijíma za druhým: počet spôsobov = n1 * N2.. * NX spôsoby.

Príklady

Príklad 1

Paula plánuje ísť do kina so svojimi priateľmi a vybrať si oblečenie, ktoré bude nosiť, oddeľte 3 blúzky a 2 sukne. Koľko spôsobov sa môže paula obliecť?

  • Riešenie

V takom prípade musí Paula robiť dve rozhodnutia:

d1 = Vyberte medzi 3 blouses = n

d2 = Vyberte medzi 2 sukňami = m

Takto má Paula n * m rozhodnutia robiť alebo rôzne spôsoby obliekania.

n * m = 3* 2 = 6 rozhodnutí.

Multiplikatívny princíp sa rodí z techniky stromového diagramu, ktorý je diagramom, ktorý súvisí so všetkými možnými výsledkami, takže každý z nich sa môže vyskytnúť konečný počet.

Príklad 2

Mario bol veľmi smädný, tak išiel do pekárne, aby si kúpil šťavu. Luis mu slúži a hovorí mu, že má v dvoch veľkostiach: veľké a malé; a štyri príchute: jablko, oranžové, citrón a hrozno. Koľko spôsobov si môže Mario zvoliť šťavu?

  • Riešenie

V diagrame je zrejmé, že Mario má 8 rôznych spôsobov, ako zvoliť šťavu, a že, rovnako ako v multiplikatívnom princípe, tento výsledok sa získa vynásobením n*m. Jediný rozdiel je v tom, že prostredníctvom tohto diagramu môžete vedieť, aké spôsoby, ako si Mari vyberie šťavu, je.

Môže vám slúžiť: Značka triedy

Na druhej strane, keď je počet možných výsledkov veľmi veľký, je praktickejšie používať multiplikačný princíp.

Počítanie

Techniky počítania sú metódy používané na vytvorenie priameho počtu, a teda poznať počet možných usporiadaní, ktoré môžu mať prvky konkrétnej sady. Tieto techniky sú založené na niekoľkých zásadách:

Zásada pridania

Tento princíp uvádza, že ak sa dve M a n udalosti nemôžu vyskytnúť súčasne, počet spôsobov ako prvou alebo druhou udalosťou bude súčet M + N:

Počet formulárov = m + n ... + x rôzne formuláre.

Príklad

Antonio chce urobiť výlet, ale nerozhoduje sa, v ktorej cieli; V Agentúre pre cestovný ruch ponúkajú povýšenie na cestovanie do New Yorku alebo Las Vegas, zatiaľ čo agentúra pre východný cestovný ruch odporúča cestovať do Francúzska, Talianska alebo Španielska. Koľko rôznych cestovných alternatív ponúka Antonio?

Riešenie

S južnou cestovnou kanceláriou má Antonio 2 alternatívy (New York alebo Las Vegas), zatiaľ čo s Agentúrou pre východný cestovný ruch má 3 možnosti (Francúzsko, Taliansko alebo Španielsko). Počet rôznych alternatív je:

Počet alternatív = M + n = 2 + 3 = 5 alternatív.

Zásada permutácie

Ide o konkrétne objednávanie všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria sadu, aby sa uľahčilo počítanie všetkých možných usporiadaní, ktoré je možné vykonať s prvkami.

Počet permutácií N rôznych prvkov, ktoré boli odobraté naraz, je reprezentovaný ako:

nPn = n!

Príklad

Štyria priatelia chcú odfotiť a chcú vedieť, koľko rôznych spôsobov je možné objednať.

Riešenie

Chcete poznať súbor všetkých možných spôsobov, ako môžu byť 4 ľudia umiestnení na fotografovanie. Preto musíte:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 rôznych spôsobov.

Ak je počet permutácií dostupných prvkov N, ktoré sa berú časťami súboru, ktorý tvorí prvky R, je znázornený ako:

Môže vám slúžiť: Aký je sortiment štatistík? (S príkladmi)

nPR = n! ÷ (n - r)!

Príklad

V triede máte 10 pozícií. Ak 4 študenti navštevujú triedu, koľko rôznych spôsobov, ako môžu študenti obsadzovať pozície?

Riešenie

Celkový počet sadov stoličiek je 10 a tieto sa použijú iba 4. Daný vzorec sa použije na určenie počtu permutácií:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 spôsobov, ako obsadiť pozície.

Existujú prípady, keď sa opakujú niektoré z dostupných prvkov set (sú rovnaké). Na výpočet počtu opatrení, ktoré prijali všetky prvky súčasne, sa používa nasledujúci vzorec:

nPr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

Príklad

Koľko rôznych slov štyroch písmen je možné formovať zo slova „vlk“?

Riešenie

V takom prípade existujú 4 prvky (listy), z ktorých dva sú presne rovnaké. Pri použití daného vzorca je známe, koľko rôznych slov je:

nPr = n! ÷ n1!* n2!… Nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 rôznych slov.

Kombinovaný princíp

Ide o opravu všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria sadu bez konkrétneho poriadku. Napríklad, ak máte usporiadanie XYZ, bude to okrem iného totožné s dohodami ZXY, YZX, ZYX; Je to preto, že napriek tomu, že nie sú v rovnakom poradí, prvky každého usporiadania sú rovnaké.

Ak sa odoberú niektoré prvky (R) súboru (N), zásada kombinácie je daná nasledujúcim vzorcom:

nCR = n! ÷ (n - r)!r!

Príklad

V obchode predávajú 5 rôznych druhov čokolády. Koľko rôznych spôsobov je možné zvoliť 4 čokolády?

Môže vám slúžiť: Zhoda: zhodné čísla, kritériá, príklady, cvičenia
Riešenie

V takom prípade si musíte zvoliť 4 čokolády z 5 typov, ktoré sa predávajú v obchode. Poradie, v ktorom sú vybrané. Pri použití vzorca musíte:

nCr = n! ÷ (n - r)!r!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 rôznych spôsobov výberu 4 čokolády.

Ak sa odoberú všetky prvky (R) súboru (n), zásada kombinácie je daná nasledujúcim vzorcom:

nCn = n!

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Máte baseballový tím so 14 členmi. Koľko spôsobov je možné priradiť 5 pozícií do hry?

  • Riešenie

Sada sa skladá zo 14 prvkov a chcete priradiť 5 konkrétnych pozícií; To znamená, že objednávka záleží. Permutačný vzorec sa aplikuje, kde n prvky dostupné odoberajú časti súboru, ktorý je tvorený r.

nPR = n! ÷ (n - r)!

Kde n = 14 a r = 5. Nahradí sa vo vzorci:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 spôsobov, ako priradiť 9 pozícií hier.

Cvičenie 2

Ak rodina 9 členov ide na výlet a kupuje si lístky s po sebe nasledujúcimi pozíciami, koľko rôznych spôsobov môže sedieť?

  • Riešenie

Toto je 9 prvkov, ktoré budú zaberať 9 kresiel postupne.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 Rôzne spôsoby sedenia.

Odkazy

  1. Hopkins, b. (2009). Zdroje na výučbu diskrétnej matematiky: projekty v triedach, moduly histórie a články.
  2. Johnsonbaugh, r. (2005). Diskrétna matematika. Pearson Vzdelanie,.
  3. Lutfiyya, L. Do. (2012). Konečný a diskrétny riešiteľ matematických problémov. Redaktori asociácie výskumu a vzdelávania.
  4. Padró, f. C. (2001). Diskrétna matematika. Politička. Katalánsko.
  5. Steiner, e. (2005). Matematika pre aplikované vedy. Reverzný.