Priatelia alebo priateľské príklady a ako ich nájsť

Ten Priatelia alebo priateľské čísla Existujú dve prírodné čísla A a B, ktorých súčet deliacich jednotlivých z nich (okrem čísla) sa rovná druhému číslu a súčet deliacich orgánov tohto druhého (ani nezahrnuté) sa rovná prvej problém.

Bolo nájdených veľa párov čísel, ktoré zdieľajú tento zvedavý majetok. Nie sú to príliš malé počty, maloleté osoby sú 220 a 284, objavené pred niekoľkými storočiami. Dajte im teda ako príklad toho, čo znamená toto zvláštne priateľstvo medzi číslami.

postava 1. Pár priateľov 220 a 284 už boli známe po storočia. Zdroj: Pixabay.

Divisors 220, okrem 220, sú: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 a 110. Na druhej strane, delení 284, okrem 284 sú: 1, 2, 4, 71 a 142.

Teraz pridávame deliteľov prvého čísla, ktoré je 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Poznamenávame, že v skutočnosti je suma 284, číslo čísla.

Potom sú pridané delení z 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

A získa sa prvý člen páru.

Starogrení grécky matematici Pythagorejskej školy, ktorú založil Pythagoras (569-475.C.), Autor slávnej vety s rovnakým názvom, podarilo sa objaviť tento zvláštny vzťah medzi týmito dvoma číslami, ku ktorým pripisuje mnoho mystických vlastností.

Boli známi aj islamskí matematici stredoveku, ktorým sa podarilo určiť všeobecný vzorec, aby našli priateľov o 80. rokoch našej éry.

[TOC]

Vzorec na nájdenie priateľov

Islamský matematik Thabit Ibn Qurra (826-901) našiel spôsob, ako vygenerovať niektoré čísla priateľov. Sean p, Otázka a r Tri hlavné čísla, to znamená, čísla, ktoré pripúšťajú iba 1 a seba ako deliaci.

Po splnení nasledujúcich:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Môže vám slúžiť: Corollry (Geometry)

R = 9.2^2N-1 - 1

S n číslo väčšie ako 1, potom:

A = 2ⁿPQ a B = 2ⁿr 

Vymyslieť pár priateľov. Vyskúšame vzorec pre n = 2 a uvidíme, ktoré pár čísel priateľov generuje:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Tak:

A = 2ⁿPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Vzorec stredovekého matematického.

Veta však nefunguje pre všetkých doteraz nájdených priateľov, iba pre n = 2, n = 4 a n = 7.

Neskôr, švajčiarsky matematik Leonhard Euler (1707-1783) odvodil nové pravidlo na nájdenie priateľských čísel, na základe čísla Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Ako vždy, čísla P, Q a R sú bratranci, ale teraz existujú dva celé exponenty: M a N, z ktorých M musí splniť nasledujúcu podmienku:

1 ≤ m ≤ n-1

Pár priateľov sa formuje rovnakým spôsobom:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

Ak sa M = N-1 získa opäť Thabitova veta, ale ako je to v prípade islamskej matematikovej vety, nie všetky priateľské čísla uspokojujú pravidlo Eulera. S tým však množstvo priateľských čísel známych dovtedy sa zvýšilo.

Tu sú prvé páry exponentov (m, n), s ktorými nájdete nejaké priateľské čísla:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) a (29,40)

Neskôr, v sekcii cvičenia, nájdeme pár priateľských čísel, ktoré sa tvoria vďaka exponentom (3,4) pravidla Eulera.

Príklady čísel priateľov

-220 a 284

Môže vám slúžiť: náhodný experiment: koncept, vzorový priestor, príklady

-1184 a 1210

-2620 a 2924

-5020 a 5564

-6232 a 6368

-10.744 a 10.856

-12.285 a 14.595

-17.296 a 18.416

Samozrejme, mnoho ďalších párov priateľských čísel je možné vygenerovať počítačom.

Ako rozdeliť číslo a nájsť svojich deliteľov

Pozrime sa teraz, ako nájsť deliteľov čísla, potvrdiť, či sú priatelia. Podľa definície priateľských čísel sú všetci deliacii jednotlivci každého účastníka, aby ich mohli pridať, s výnimkou samotných čísel.

Teraz možno prírodné čísla rozdeliť do dvoch skupín: hlavné čísla a zložené čísla.

Primo čísla pripúšťajú iba presných deliacich na 1 a seba samých. A čísla zložené z ich časti, možno vždy vyjadriť ako produkt prvých čísel a mať ďalšie deliteľy, okrem 1 a samých seba samých.

Akékoľvek zložené číslo, ako je 220 alebo 284, sa dá vyjadriť týmto spôsobom:

N = aⁿ . b^m. c^p... r^{klimatizovať}

Kde a, b, c ... r sú prvotné čísla a n, m, p ... k sú exponenti patriaci k prírodným číslom, ktoré môžu mať hodnotu od 1 ďalej.

Pokiaľ ide o týchto exponentov, existuje vzorec, aby ste vedeli, koľko (ale nie ktoré) deliteľov má číslo n. Nech C je táto suma:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Akonáhle je číslo n vyjadrené z hľadiska produktov prvočísiel a je známe, koľko deliteľov má, už máte nástroje na to, aby sme vedeli, aké sú ich deliaci, tak bratranci aj non -cousins. A je potrebné ich stretnúť, aby sme skontrolovali, či sú priatelia, s výnimkou posledného, ​​čo je samotné číslo.

Vyriešené cvičenia

- Cvičenie 1

Nájdite všetkých deliteľov pár priateľov 220 a 284.

Riešenie

Najprv nájdeme hlavných deliteľov 220, čo je zložené číslo:

Môže vám slúžiť: Prebužný odhad

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Rozklad v hlavných faktoroch 220 je:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. jedenásť

Preto n = 2, m = 1, p = 1 a vlastní:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 deliteľov

Prví deliaci, ktorí sú varovaní pred rozkladom čísla, sú: 1, 2, 4, 5 a jedenásť. A sú tiež 110 a 55.

5 z nich by chýbalo, ktorí vyrábajú výrobky medzi bratrancami a ich kombináciami: 2².5 = dvadsať;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 A nakoniec 1 A jeho vlastný 220.

Sleduje sa analogický postup pre 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 deliteľov

Títo deliaci sú: 1, 2, 4, 71, 142 a 284, ako je uvedené na začiatku.

Obrázok 2. S opísanou metódou je možné tieto páry analyzovať, aby sa overili, či sú to čísla priateľov. Zdroj: f. Zapata.

- Cvičenie 2

Skontrolujte, či je Eulerovi vzorec N = 4 a M = 3 generuje zoznam prvých čísel (p, q, r) = (23,47, 1151). Čo s nimi vytvorilo pár priateľov?

Riešenie

Primárne čísla p, q a r sa vypočítavajú pomocou:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Získa sa výmena hodnôt m = 3 a n = 4:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Teraz sa vzorec používa na nájdenie čísel niekoľkých priateľov A a B:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

A skutočne patria medzi zoznam prvých čísel párov priateľov, ktoré predtým zobrazujeme.

Odkazy

1. Baldor, a. 1986. Aritmetika. Vydania a distribúcie Codex.
2. Všetko o prvých číslach. Priatelia čísla. Uzdravený z: sestry.orgán.
3. Wolfram Mathworld. Eulerov pravidlo. Obnovené z: Mathworld.Valfram.com.
4. Wikipedia. Priateľské čísla. Zdroj: In.Wikipedia.orgán.
5. Wikipedia. Priatelia čísla. Obnovené z: je.Wikipedia.orgán.