História booleovskej algebry, vety a postuláty, príklady

On Booleovská algebra o Booleho algebra je algebraický zápis používaný na liečbu binárnych premenných. Zahŕňa štúdie akejkoľvek premennej, ktorá má iba 2 možné, doplnkové a exkluzívne výsledky medzi sebou. Napríklad premenné, ktorých jedinou možnosťou sú pravdivé alebo nepravdivé, správne alebo nesprávne, sú základom štúdia booleovskej algebry.

Booleovská algebra predstavuje základ digitálnej elektroniky, vďaka ktorej je v súčasnosti celkom prítomný. Riadi sa koncepciou logických brán, kde sú pozoruhodne ovplyvnené operácie známe v tradičnej algebre.

Zdroj: pexels.com

[TOC]

História

Booleovskú algebru predstavil v roku 1854 anglický matematik George Boole (1815 - 1864), ktorý bol samostatným učením času času. Jeho obavy vznikli z existujúceho sporu medzi Augustom z Morgan a William Hamilton o parametroch, ktoré definujú tento logický systém.

George Boole tvrdil, že definícia numerických hodnôt 0 a 1 v oblasti logiky zodpovedá interpretácii Nič a vesmír respektíve.

Zámerom George Boole bolo definovať, prostredníctvom vlastností algebry, výrazy výrokovej logiky potrebnej na riešenie binárnych premenných.

V roku 1854 sú v knihe vydané najvýznamnejšie časti booleovskej algebry “Vyšetrovanie zákonov myslenia, na ktorých sú založené matematické teórie logiky a pravdepodobnosti “.

Tento zvedavý titul by bol zhrnutý neskôr ako “Zákony myslenia „(„ Zákony myšlienok “). Názov skočil k sláve kvôli okamžitej pozornosti, ktorú mal z matematickej komunity tej doby.

V roku 1948 ho Claude Shannon aplikoval pri návrhu elektrických obvodov s elektrickým spínačom Biateble. Toto slúžilo ako úvod k uplatňovaniu booleovskej algebry v celej elektronickej digitálnej schéme.

Štruktúra

Elementárne hodnoty v tomto type algebry sú 0 a 1, ktoré zodpovedajú falošnej a pravdivej respektíve. Základné operácie v booleovskej algebre sú 3:

- A prevádzka spojenia. Zastúpené bodom ( . ). Synonymum produktu.

- Alebo disjunkcia. Predstavuje kríž ( +) .Synonymum sumy.

- Žiadna operácia alebo denácia. Zastúpené predponou nie (nie a). Je tiež známy ako doplnok.

Ak je v súprave 2 zákony vnútorného zloženia označené ako produkt a súčet sú definované ( .  + ), hovorí sa, že zoznam (a . + ) Je to booleovská algebra, ak a iba vtedy, ak uvedený zoznam spĺňa stav distribučného retikula.

Môže vám slúžiť: Racionálne čísla: Vlastnosti, príklady a operácie

Na definovanie distribučného retikula sa musia splniť distribučné podmienky medzi danými operáciami:

. je distribučný vzhľadom na sumu +                   do . (b + c) = (a . b) + (a . c)

+ je distribučný vzhľadom na produkt.                  A + (B . c) = (a +b) . (A + c)

Prvky, ktoré tvoria sadu A, musia byť binárne, takže majú hodnoty Vesmír alebo prázdnota.

Žiadosti

Jeho najväčším scenárom aplikácie je digitálna vetva, kde slúži na štruktúrovanie obvodov, ktoré tvoria zapojené logické operácie. Umenie obvodov jednoduchosť na optimalizáciu procesov je výsledkom správnej aplikácie a praxe booleovskej algebry.

Od vypracovania elektrických dosiek, prostredníctvom prenosu údajov, až po dosiahnutie programovania v rôznych jazykoch, často môžeme nájsť Boole's Algebru vo všetkých typoch digitálnych aplikácií.

Booleovské premenné sú v programovacej štruktúre veľmi bežné. V závislosti od použitého programovacieho jazyka budú existovať štrukturálne operácie kódu, ktoré používajú tieto premenné. Podmienené a argumenty každého jazyka pripúšťajú booleovské premenné na definovanie procesov.

Postuláty

Existujú vety, ktoré riadia zákony štrukturálnej logiky booleovskej algebry. Rovnakým spôsobom sú predpokladané, aby poznali možné výsledky v rôznych kombináciách binárnych premenných podľa operácie vykonanej.

Súčet (+)

Prevádzkovateľ Alebo ktorého logickým prvkom je únia (u) je definovaná pre binárne premenné nasledovne:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Prevádzkovateľ A ktorého logickým prvkom je priesečník (∩) je definovaný pre binárne premenné nasledovne:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Oproti (nie)

Prevádzkovateľ Nie ktorého logickým prvkom je doplnok (x) 'je definovaný pre binárne premenné nasledovne:

Nie 0 = 1

Nie 1 = 0

Mnohé z postulátov sa líšia od ich ekvivalentov v konvenčnej algebre. Je to kvôli doméne premenných. Napríklad pridanie vesmírových prvkov do booleovskej algebry (1 + 1) nemôže priniesť konvenčný výsledok 2, pretože nepatrí k prvkom binárneho komplexu.

Vety

Nulové pravidlo a jednotka

Je definovaná akákoľvek jednoduchá operácia, ktorá zahŕňa prvok s binárnymi premennými:

0 + a = a

1 + a = 1

0 . A = 0

1 . A = a

Rovnaké právomoci alebo IDEMPYNCE

Operácie medzi rovnakými premennými sú definované ako:

Môže vám slúžiť: Zhoda: zhodné čísla, kritériá, príklady, cvičenia

A + a = a

Do . A = a

Doplnok

Akákoľvek operácia medzi premennou a jej doplnkom je definovaná ako:

A + nie a = 1

Do . Nie a = 0

Involúcia alebo dvojité popieranie

Všetky dvojité popieranie sa bude považovať za prírodnú premennú.

Nie (nie a) = a

Komutatívny

A + b = b + a; Leto sumy.

Do . B = B . K; Komunita produktu.

Asociatívny

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Združenie.

Do . (B . C) = (a . B) . C = a . B . C; Pridruženie výrobkov.

Distribučný

A + (B . C) = (a + b) . (A + c); Distribuovať sumu vzhľadom na produkt.

Do . (B + c) = (a . B) + (a + c); Distribúcia produktov vzhľadom na sumu.

Absorpčné zákony

Medzi viacerými odkazmi existuje veľa absorpčných zákonov, niektoré z najznámejších sú:

Do . (A + b) = a

Do . (Nie a + b) = a . B

Nie a (a + b) = nie a . B

(A + b) . (A + nie b) = a

A + a . B = a

A + nie a . B = a + b

Nie a + a . B = nie a + b

Do . B + a . Nie b = a

Morganova veta

Sú to zákony o transformácii, ktoré spravujú páry premenných, ktoré interagujú medzi definovanými operáciami booleovskej algebry ( + . ).

POZNÁMKA . B) = nie a + nie b

Nie (a +b) = nie a . Nie b

A + b = nie (nie a + nie b)

Do . B = nie (nie a . Nie b)

Dualita

Všetky postuláty a vety majú moc duality. To znamená, že výmenou premenných a operácií sa výsledný návrh overuje. To znamená, že pri výmene 0 za 1 a a alebo naopak; Vytvorí sa výraz, ktorý bude tiež úplne platný.

Napríklad, ak vezmete postulát

1 . 0 = 0

A uplatňuje sa dualita

0 + 1 = 1

Získa sa ďalší dokonale platný postulát.

Karnaughová mapa

Karnaughova mapa je diagram používaný v booleovskej algebre na zjednodušenie logických funkcií. Pozostáva z dvojrozmerného usporiadania podobného tabuľkám pravdy o propozičnej logike. Údaje o skutočných tabuľkách môžu byť priamo stelesnené na mape Karnaugh.

Karnaughova mapa môže viesť procesy až 6 premenných. Pre funkcie s väčším počtom premenných sa odporúča použitie softvéru na zjednodušenie procesu.

Navrhol v roku 1953 Maurice Karnaugh, bol založený ako pevný nástroj v oblasti Boole.

Príklady

Booleovská algebra slúži na zníženie logických dverí v obvode, kde prioritou je priniesť zložitosť alebo úroveň obvodu na jeho minimálny možný výraz. Dôvodom je výpočtové oneskorenie, ktoré predpokladá každé dvere.

V nasledujúcom príklade budeme pozorovať zjednodušenie logického výrazu až do jeho minimálneho výrazu, pomocou vety a postulátov booleovskej algebry.

Nie (ab + a + b) . Nie (a + nie b)

Nie [a (b + 1) + b] . Nie (a + nie b); Faktorovanie A spoločným faktorom.

Môže vám slúžiť: výpočet prístupov pomocou diferenciálov

Nie [a (1) + b] . Nie (a + nie b); Vetou a + 1 = 1.

Nie (a + b) . Nie (a + nie b); Veta a . 1 = a

( POZNÁMKA . Nie b) . [ POZNÁMKA . Nie (nie b)];

Vetou Morganovej nie (a + b) = nie a . Nie b

( POZNÁMKA . Nie b) .  ( POZNÁMKA . B); Dvojitým popieraním vety nie (nie a) = a

POZNÁMKA . Nie b . POZNÁMKA . B; Algebraická skupina.

POZNÁMKA . POZNÁMKA . Nie b . B; Komunitivita produktu na . B = B . Do

POZNÁMKA . Nie b . B; Veta a . A = a

POZNÁMKA . 0; Veta a . Nie a = 0

0; Veta a . 0 = 0

Do . B . C + nie a + a . Nie b . C

Do . C . (B + nie b) + nie a; Faktorizácia (a . C) S spoločným faktorom.

Do . C . (1) + nie a; Vetou a + nie a = 1

Do . C + nie a; Nulovou vetou a jednotkou 1 . A = a

Nie + c ; Zo zákona od Morgan do + nie a . B = a + b

Pre toto riešenie sa musí Morganov zákon rozšíriť na definovanie:

Nie (nie a) . C + nie a = nie a + c

Pretože nie (nie a) = a podľa involúcie.

Zjednodušiť logickú funkciu

POZNÁMKA . Nie b . Nie c + nie a . Nie b . C + nie a . Nie C, až kým jeho minimálny výraz

POZNÁMKA . Nie b . (Nie c + c) + nie a . Nie c; Faktorizácia (nie a . Nie b) s bežným faktorom

POZNÁMKA . Nie b . (1) + nie a . Nie c; Vetou a + nie a = 1

(POZNÁMKA . Nie b) + (nie a . Nie c);  Nulovou vetou a jednotkou 1 . A = a

Nie (nie b + nie c); Faktoring nie s spoločným faktorom

POZNÁMKA . Nie (b . C); Podľa zákonov Morgan nie (a . B) = nie a + nie b

Nie [a + (b . C)] Podľa zákonov Morgan nie (a . B) = nie a + nie b

Ktorákoľvek zo 4 tučných možností predstavuje možné riešenie na zníženie úrovne obvodu

Zjednodušte logickú funkciu až do jej minimálneho výrazu

( . Nie b .  C + a . Nie b . B . D+ nie a . Nie b) . C

( . Nie b . C + a . 0 . D + nie a . Nie b) . C; Veta a . Nie a = 0

( . Nie b . C + 0 + nie a . Nie b) . C; Veta a . 0 = 0

( . Nie b . C + nie a . Nie b) . C; Vetou a + 0 = a

Do . Nie b . C . C + nie a . Nie b . C; Distribúciou produktu vzhľadom na sumu

Do . Nie b . C + nie a . Nie b . C; Veta a . A = a

Nie b . C (a + nie a) ; Faktorizácia (nie b . C) S spoločným faktorom

Nie b . C (1); Vetou a + nie a = 1

Nie b . C; Nulovou vetou a jednotkou 1 . A = a

Odkazy

1. Booleovská algebra a jej aplikácie J. Eldon Whites. Continental Editorial Company, 1980.
2. Matematika a inžinierstvo v oblasti informatiky. Christopher J. Van wyk. Inštitút pre počítačové vedy a technológie. Národný úrad pre normy. Washington, D. C. 20234
3. Matematika pre počítačovú vedu. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Matematics and Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai technológie.
4. Prvky abstraktnej analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Oddelenie matematiky. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.