Intefinované integrálne vlastnosti, aplikácie, výpočet (príklady)

Ten Neurčitý integrál Je to opačná prevádzka derivácie a označuje ju predĺžený symbol „s“: ∫. Matematicky je napísaný neurčitý integrál funkcie f (x):

∫f (x) dx = f (x) + c

Kde integrácia f (x) = f '(x) je funkciou premennej X, čo je zase ten, ktorý je odvodený z inej funkcie f (x), nazývaný integrál alebo antidevatívne.

postava 1. Neurčitý integrál je jedným z najvýkonnejších nástrojov pre matematické modelovanie. Zdroj: Wikimedia Commons. Wallpoper / Public Doména.

Na druhej strane je C konštanta, ktorá je známa ako Konštanta, ktoré vždy sprevádza výsledok akéhokoľvek neurčitého integrálu. Uvidíme jeho pôvod okamžite prostredníctvom príkladu.

Predpokladajme, že nás požiadajú, aby sme našli nasledujúci neurčitý integrál I:

I = ∫x.Dx

Okamžite identifikujem f '(x) s x. To znamená, že musíme poskytnúť funkciu f (x) tak, že jej derivát je x, niečo, čo nie je ťažké:

f (x) = ½ x²

Vieme, že pri odvodení f (x) sa dostaneme k f '(x), overujeme to:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Teraz funkcia: f (x) = ½ x² + 2 tiež spĺňa požiadavku, pretože derivácia je lineárna a derivát konštanty je 0. Ďalšie funkcie, ktoré, keď sú odvodené, vedú k f (x) = sú:

½ x² -1, ½ x² + pätnásť; ½ x² - √2…

A všeobecne všetky funkcie formulára:

f (x) = ½ x² + C

Sú to správne odpovede na problém.

Ktorý z týchto funkcií sa nazýva antidevatívne alebo primitívne f '(x) = x a je to práve ten súbor všetkých antiderivátov funkcie, ktorá je známa ako neurčitá integrál.

Stačí poznať jedného z primitív, pretože ako je vidieť, jediný rozdiel medzi nimi je konštanta C integrácie.

Môže vám slúžiť: Poisson Distribúcia: vzorce, rovnice, model, vlastnosti

Ak problém obsahuje počiatočné podmienky, je možné vypočítať hodnotu C, aby sa im prispôsobila (pozri príklad vyriešený neskôr).

[TOC]

Ako vypočítať neurčitý integrál

V predchádzajúcom príklade sa vypočítal ∫x.DX, pretože funkcia f (x) bola známa, že keď bola odvodená, viedla k integrácii.

Z tohto dôvodu je možné z najznámejších funkcií a ich derivátov vyriešiť základné integrály.

Okrem toho existujú niektoré dôležité vlastnosti, ktoré rozširujú rozsah možností pri riešení integrálu. Byť klimatizovať Skutočné číslo, potom je pravda, že:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

V závislosti od integrácie existuje niekoľko algebraických metód a numerických na riešenie integrálov. Tu spomenieme:

-Zmena premennej

-Algebraické a trigonometrické substitúcie.

-Integrácia podľa diel

-Rozklad v jednoduchých frakciách na integráciu racionálneho typu

-Používanie tabuliek

-Numerické metódy.

Existujú integrály, ktoré je možné vyriešiť viac ako jednou metódou. Bohužiaľ, neexistuje žiadne jedinečné kritérium na určenie a priori na najúčinnejšiu metódu riešenia špecifického integrálu.

V skutočnosti niektoré metódy umožňujú dosiahnuť riešenie určitých integrálov rýchlejšie ako iné. Ale pravda je, že na získanie zručností riešením integrálov musíte cvičiť s každou metódou.

- Vyriešený príklad

Vyriešiť:

Riešenie

Urobme jednoduchú zmenu premennej pre subradickú množstvo:

U = x-3

S:

X = u+3

Odvodenie oboch strán na oboch výrazoch, ktoré dostanete:

Dx = du

Teraz nahradíme integrál, ktorý označíme ako ja:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Môže vám slúžiť: Ordinálna premenná

Aplikujeme distribučné vlastnosti a násobenie právomocí rovnakej základne a získa sa:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Pre majetok 3 predchádzajúcej časti:

I = ∫ u^3/2 DU +∫ 3U^1/2 du

Teraz sa uplatňuje nehnuteľnosť 4, ktorá je známa ako Výkon:

Prvý integrál

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Druhý integrál

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Potom sa výsledky spoja:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Obidve konštanty sa môžu zhromažďovať v jednej bez problémov. Nakoniec nesmieme zabudnúť vrátiť zmenu premennej, ktorá sa vykonala predtým, a vyjadriť výsledok, pokiaľ ide o pôvodnú premennú x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Je možné zohľadniť výsledok:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Žiadosti

Neurčitý integrál sa vzťahuje napríklad na mnohé modely v prírodných a spoločenských vedách:

Návrh

V riešení problémov s pohybom, výpočet rýchlosti mobilného mobilného telefónu, známeho jeho zrýchlenia a pri výpočte polohy mobilného mobilného telefónu, známe jej rýchlosť.

Hospodárnosť

Pri výpočte výrobných nákladov a modelovaní funkcie dopytu napríklad.

Uplatňovanie

Minimálna rýchlosť požadovaná objektom na uniknutie pozemskej gravitačnej príťažlivosti je daná:

V tomto výraze:

-v je rýchlosť objektu, ktorý chce uniknúť zo zeme

-A je to vzdialenosť meraná od stredu planéty

-M je zemská masa

-G je konštantná gravitácia

Môže vám slúžiť: Normálne rozdelenie: vzorec, charakteristiky, príklad, cvičenie

Žiada sa o nájdenie vzťahu medzi vložka a a, Riešenie neurčitých integrálov, ak je objekt udelený počiatočnou rýchlosťou v_ani A polomer zeme je známy a nazýva sa r.

Obrázok 2.- Umelý satelitný sójuz. Ak je poskytnutá príliš veľká rýchlosť, unikne z závažnosti Zeme, minimálna rýchlosť, ktorá sa tak stane, sa nazýva rýchlosť výfuku. Zdroj: Wikimedia Commons.

Riešenie

Predstavujeme sa s dvoma neurčitými integrálmi na vyriešenie pravidiel integrácie:

Jo₁ = ∫v dv = v²/2 + c₁

Jo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ a^-2 dy = -gm [a^-2+1/(-2 + 1)] + C₂ = Gm. a^-1 + C₂

Rovnako i₁ a ja₂:

vložka²/2 + c₁ = Gm. a^-1 + C₂

Obidve konštanty sa môžu zhromaždiť v jednej:

Akonáhle sú integrály vyriešené, uplatňujeme počiatočné podmienky, ktoré sú nasledujúce: Keď je objekt na povrchu Zeme, je vo vzdialenosti r od toho istého stredu. Vo vyhlásení nám hovoria, že je to vzdialenosť meraná od stredu Zeme.

A len na povrch. Preto môžeme zistiť, že V (r) = v_ani. V takom prípade nám nič nebráni nahradiť tento stav vo výsledku, ktorý sme práve získali:

A od V V_ani Je to známe, a tak aj G, M a R, môžeme vyčistiť hodnotu integračnej konštanty C:

Ktoré môžeme nahradiť v dôsledku integrálov:

A nakoniec vyčistíme V², Správne faktoring a zoskupovanie:

Toto je výraz, ktorý súvisí s rýchlosťou vložka satelitu, ktorý vystrelil z povrchu planéty (polomer R) s počiatočnou rýchlosťou vola, Keď je na diaľku a Z stredu planéty.

Odkazy

1. Haeussler, e. 1992. Matematika pre správu a ekonomiku. Redakčná skupina Iberoamerica.
2. Hyperfyzika. Úniková rýchlosť. Obnovené z: hthyperfyziky.Fytrický.Gsu.Edu.
3. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9NA. Vydanie. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Výpočet analytickou geometriou. 9NA. Vydanie. Pearson Vzdelanie.
5. Wolfram Mathworld. Príklad integrálov. Obnovené z: Mathworld.Valfram.com.