Bežné príklady a cvičenia faktorizácie

Ten Spoločná faktorizácia algebraického expresie spočíva v určovaní dvoch alebo viacerých faktorov, ktorých produkt sa rovná navrhovanej expresii. Týmto spôsobom, hľadanie spoločného faktora, proces faktorizácie sa vždy začína.

Z tohto. V prípade listov sa bežné literály považujú za spoločný faktor pre všetky výrazy, ktoré majú najmenší exponent, a pre čísla sa počíta maximálny spoločný deliteľ (MCD) všetkých koeficientov.

postava 1. Pri bežnej faktorizácii sa hľadajú literály a koeficienty spoločné pre každý termín. Zdroj: Pixabay/F. Zapata.

Produkt oboch spoločných faktorov za predpokladu, že sa líši od 1, bude spoločným faktorom expresie. Po zistení rozdelenia každého funkčného obdobia medzi uvedeným faktorom sa stanoví konečná faktorizácia.

Tu je príklad toho, ako to urobiť, faktorovaním tohto trinomialu:

4x⁵-12x³+8x²

Je zrejmé, že všetky pojmy obsahujú doslovný „x“, ktorého najmenšou silou je x². Pokiaľ ide o numerické koeficienty: 4, -12 a 8 sú násobky 4. Preto je spoločným faktorom 4x².

Po nájdení faktora je každý termín pôvodného výrazu rozdelený medzi neho:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Nakoniec je výraz prepísaný ako produkt spoločného faktora a súčet výsledkov predchádzajúcich operácií, ako je tento:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

[TOC]

Ako zohľadniť, keď neexistuje spoločný faktor

Ak spoločný faktor nie je zrejmý ako v predchádzajúcom príklade, je stále možné zohľadniť výraz, ktorý pozorne sleduje výraz, aby ste zistili, či je možné implementovať niektorú z nasledujúcich metód:

Môže vám slúžiť: polybal grafika

Rozdiel dvoch dokonalých štvorcov

Je to binomické vyjadrenie formy:

do² - b²

To môže byť faktorom uplatňovaním pozoruhodného produktu:

do² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

Postup je ďalší:

-Najskôr extrahujte druhý druhý koreň každého z dokonalých štvorcov.

-Potom vytvorte produkt medzi súčtom týchto koreňov a jeho rozdielom, ako je uvedené.

Perfektný štvorcový trinomén

Trinomialy formy:

X² ± 2a⋅x + a²

Faktorujú prostredníctvom pozoruhodného produktu:

(x+a)² = x² ± 2a⋅x + a²

Na použitie tejto faktorizácie sa musí potvrdiť, že v skutočnosti trinomiálny účinok má dva dokonalé štvorce a že zostávajúci výraz je dvojitým produktom odmocniny týchto hodnôt týchto hodnôt.

Trinomial formy X² + MX + N

Ak Trinomial to Faktor nemá dva dokonalé štvorce, snaží sa ho napísať ako produkt dvoch výrazov:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Kde by sa to malo splniť vždy, keď:

N = a⋅b

M = a+b

Faktorizácia zoskupením výrazov

Expresia, ktorý má byť faktor, niekedy nemá spoločný faktor, ani nezodpovedá žiadnemu z vyššie uvedených prípadov. Ale ak je počet jeho podmienok rovnomerne, je možné vyskúšať tento postup:

-Skupinové páry, ktoré majú spoločný faktor.

-Uvedenie každého páru spoločným faktorom, takže výrazy v zátvorkách sú rovnaké, to znamená, že na druhej strane je zátvorka spoločným faktorom. Ak to nie je zvolená skupina, musíte sa pokúsiť nájsť ju inou kombináciou.

-Vyhľadaná faktorizácia je produktom pojmov v zátvorke spoločných faktorov každého páru.

Príklady, ktoré pomôžu objasniť diskutované prípady.

Príklady

Faktor nasledujúcich algebraických výrazov:

a) 6ab² - 18²b³

Toto je príklad spoločného faktora. Počnúc doslovnou časťou sú písmená A a B prítomné v týchto dvoch termínoch. Pre premennú „A“ je menší exponent 1 a je v období 6AB², Zatiaľ čo pre písmeno „B“ je menší exponent B².

Môže vám slúžiť: inverzné trigonometrické funkcie: hodnota, deriváty, príklady, cvičenia

Potom AB² Je to spoločný faktor v pôvodnom výraze.

Pokiaľ ide o čísla, existuje 6 a -18, druhý je násobok 6, od -18 = -(6 × 3). Preto je 6 numerický koeficient spoločného faktora, ktorý vynásobený doslovnou časťou je:

6Ab²

Teraz je každý pôvodný výraz vydelený týmto spoločným faktorom:

• 6Ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²b³) ÷ 6ab² = -3ab

Nakoniec je pôvodný výraz prepísaný ako produkt medzi spoločným faktorom a algebraickým súčtom termínov nájdených v predchádzajúcom kroku:

6Ab² - 18²b³ = 6ab² ⋅ (1-3AB)

b) 16x² - 9

Tento výraz je rozdiel od Perfect Squares, takže sa získa extrahovaním odmocninových koreňov do oboch výrazov:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Pôvodný výraz je napísaný ako produkt súčtu týchto druhých koreňov podľa jeho rozdielu:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6Z + 8

Je to trinomial formy X² + MX + N, pretože 8 nie je dokonalým štvorcom iného celého čísla, takže musíte nájsť dve čísla A a B tak, aby vyhovovali súčasne:

• do.B = 8
• A + B = 6

Autor: Tanteo, to znamená testovanie, požadované čísla sú 4 a 2, odvtedy:

4 × 2 = 8 a 4 + 2 = 6

Tak:

z² + 6Z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Čitateľ môže skontrolovať a uplatňovať distribučnú vlastnosť na pravej strane rovnosti, že oba výrazy sú rovnocenné.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Tento výraz je kandidátom na faktorizáciu zoskupením pojmov, pretože voľným okom nie je zrejmé spoločné faktory a má tiež niekoľko výrazov.

Je zoskupený nasledovne, s vedomím, že poradie dodatkov nezmení súčet:

Môže vám slúžiť: obtusangle trojuholník

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Každá zátvorka má svoj vlastný spoločný faktor:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Definitívny spoločný faktor už bol odhalený: je to zátvorka, ktorá sa opakuje oboma výrazmi (2x -3y).

Teraz to môže byť opäť faktor:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Preto:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Čitateľ môže opäť uplatniť distribučnú vlastnosť na právo na rovnosť, na potvrdenie rovnosti.

Vyriešené cvičenia

Faktorizovať:

a) a² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + do³ + 15a + 5

Roztok

Je to perfektný štvorcový trinomén, začína sa nájdením druhého druhého koreňa dokonalých štvorcových výrazov:

√ (a²) = y

√ 25 = 5

Je overené, že termín centra je dvojitým produktom týchto dvoch:

10y = 2. 5. a

A vyhľadaná faktorizácia je:

a² - 10y + 25 = (y-5)²

Riešenie B

Výraz je tiež dokonalým štvorcovým trinomiálnym:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Centrálny termín sa overuje:

12xy = 2 štúp

Konečne:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Riešenie c

Problém je trinomial typu X² + MX + N:

n = a⋅b = -14 = 7 x ( - 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Príslušné čísla sú 7 a -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Riešenie d

Tretí⁴ + do³ + 15a + 5 = (3a⁴ + do³) + (15a + 5)

Spoločný faktor (3⁴ + do³) to³ a to z (15a + 5) je 5, ktoré sú zoskupené takto:

(3⁴ + do³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Obrázok 2. Faktorizačné cvičenia na prax. Zdroj: f. Zapata.

Odkazy

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kultúrna vlastná skupina.
2. Larson, R. 2012. Predbežné vyfarbenie. 8. Vydanie. Učenie sa.
3. Matematický svet. Faktorizácia. Obnovené z: Mathworld.Valfram.com.
4. Matematický svet. Polynómová faktorizácia. Obnovené z: Mathworld.Valfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Predbežné vycvičenie: matematika na výpočet. 5. Vydanie. Učenie sa.
6. Zill, D. 1984. Algebra a trigonometria. McGraw Hill.