Matematická nádej, vlastnosti, príklady, cvičenie

Ten matematická nádej alebo očakávaná hodnota náhodná premenná X, označuje sa ako E (x) a je definovaný ako súčet produktu medzi pravdepodobnosťou náhodnej udalosti a hodnotou uvedenej udalosti.

V matematickej forme sa vyjadruje takto:

μ = e (x) = ∑ x_Jo. P (x_Jo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

postava 1. Matematická nádej sa široko používa na akciovom trhu a v oblasti poisťovníctva. Zdroj: Pixabay.

Kde x_Jo Je to hodnota udalosti a p (x_Jo) jeho pravdepodobnosť výskytu. Zhrnutie sa rozširuje na všetky hodnoty pripustené x. A ak sú konečné, zhrnutie naznačené konverguje na hodnotu e (x), ale ak sa súčet konverguje, potom premenná chýba očakávaná hodnota.

Pokiaľ ide o nepretržitú premennú X, Premenná môže mať nekonečné hodnoty a integrály nahrádzajú súhrny:

Tu f (x) predstavuje funkcia hustoty pravdepodobnosti.

Všeobecne sa matematická nádej (ktorá je váženým priemerom) sa rovná aritmetickému alebo priemernému priemeru, pokiaľ nejde o diskrétne rozdelenie, v ktorom je každá udalosť rovnako pravdepodobná. Takže a až potom:

μ = e (x) = (1/n) ∑ x_Jo

Kde n je počet možných hodnôt.

Koncept je veľmi užitočný na finančných trhoch a poisťovacích spoločnostiach, v ktorých často chýbajú certifikáty, ale sú pravdepodobné.

[TOC]

Vlastnosti matematickej nádeje

Medzi najdôležitejšie vlastnosti matematickej nádeje patrí:

- Znamenie: Ak je x pozitívny, potom bude E (x) tiež.

- Očakávaná hodnota konštanty: Očakávaná hodnota skutočnej konštanty klimatizovať Je to konštanta.

E (k) = k

- Linearita v sume: Nádej náhodnej premennej, ktorá je zase súčtom dvoch premenných x y y je súčet nádeje.

Môže vám slúžiť: usporiadaný pár

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Násobenie konštantou: Ak je náhodná premenná forma kx, kde klimatizovať Je to konštanta (skutočné číslo), vychádza z očakávanej hodnoty.

E (kx) = k e (x)

- Očakávaná hodnota produktu a nezávislosť medzi premennými: Ak je náhodná premenná produktom náhodných premenných x y y, ktoré sú nezávislé, potom je očakávaná hodnota produktu produktom očakávaných hodnôt.

Bývalý.Y) = e (x).Hej)

- Náhodná premenná Y = ax + b: Predchádzajúce vlastnosti sa uplatňujú.

E (ax + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Všeobecne áno Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = ∑ g (x_Jo). P [g (x_Jo)]

- Objednávka v očakávanej hodnote: Áno x ≤ y, potom:

E (x) ≤ e (y)

Pretože existujú očakávané hodnoty každého z nich.

Matematická nádej v stávkach

Keď slávny astronóm Christian Huygens (1629-1695) nepozoroval nebesia, bol venovaný štúdiu, okrem iných disciplín, pravdepodobnosť v hazardných hrách. Bol to ten, kto predstavil koncept matematickej nádeje vo svojej práci z roku 1656 s názvom: Uvažovanie o hazardných hrách.

Obrázok 2. Christiaan Huygens (1629-1625) bol vynikajúci a všestranný vedec, za ktorého dlhujeme koncept očakávanej hodnoty.

Huygens zistil, že stávky možno podľa očakávanej hodnoty klasifikovať tromi spôsobmi:

-Hry s výhodou: E (x)> 0

-Spravodlivé stávky: e (x) = 0

-Nevýhodná hra: E (x) < 0

Problém je v tom, že v hre náhody matematická nádej nie je vždy ľahké vypočítať. A keď môžete výsledok, niekedy je to sklamanie pre tých, ktorí sa pýtajú, či sa majú staviť alebo nie.

Poďme sa pokúsiť s jednoduchou stávkou: tvár alebo kríž a ten, ktorý prehrá, platí kávu 1 $. Aká je očakávaná hodnota tejto stávky?

Môže vám slúžiť: čo je usmernenie? (Geometria)

Pravdepodobnosť drahého je ½, rovnako ako kríž vyjde. Náhodná premenná je vyhrať 1 dolár alebo stratiť $ 1, zisk je označený znakom + a strata so znakom -.

Informácie organizujeme v tabuľke:

Vynásobíme hodnoty stĺpcov: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ a nakoniec sa pridajú výsledky. Suma je 0 a je to spravodlivá hra, v ktorej sa očakáva, že účastníci vyhrajú alebo prehrajú.

Francúzska ruleta a lotéria sú hry s nevýhodou, v ktorej stratí väčšina bráncov. Neskôr je v sekcii vyriešených cvičení o niečo zložitejšia stávka.

Príklady 

Tu je niekoľko jednoduchých príkladov, v ktorých je koncept matematickej nádeje intuitívny a objasňuje tento koncept:

Príklad 1

Začneme spustením čestných kocky. Aká je očakávaná hodnota spustenia? Ak je kocky čestný a má 6 tvárí, pravdepodobnosť, že akákoľvek hodnota (x = 1, 2, 3 ... 6) opustí 1/6, ako je táto:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Obrázok 3. Pri spustení čestných kocky nie je očakávaná hodnota možná hodnota. Zdroj: Pixabay.

Očakávaná hodnota v tomto prípade sa rovná priemeru, pretože každá tvár má rovnakú pravdepodobnosť, že vyjde. Ale E (x) nie je možná hodnota, pretože žiadna tvár nemá hodnotu 3.5. To je v niektorých distribúciách úplne možné, hoci v tomto prípade výsledok nepomáha stávkam veľa.

Pozrime sa na ďalší príklad spustením dvoch mincí.

Príklad 2

Dve čestné mince sa hodia do vzduchu a definujú náhodnú premennú X ako počet získaných tvárí. Udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť, sú nasledujúce:

Môže vám slúžiť: 90 deliteľov: Čo sú a vysvetlenie

-Žiadna tvár nevychádza: 0 tvárí, ktoré sa rovnajú 2 krížom.

-1 tvár a 1 tesnenie alebo kríž vyjde.

-Vychádzajú 2 tváre.

Nech C je tvár a tesnenie, vzorový priestor, ktorý popisuje tieto udalosti, je nasledujúci:

Siež_m = Seal-Iso; Seal-Cara; Tvár-ke; Cara-Cara = tt, Tc, Ct, Cc

Pravdepodobnosť, že sa udalosti stanú, sú:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Tabuľka je vytvorená s získanými hodnotami:

Podľa definície uvedenej na začiatku sa matematická nádej vypočíta ako:

μ = e (x) = ∑ x_Jo. P (x_Jo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Výmena hodnôt:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Tento výsledok sa interpretuje takto: Ak má osoba dostatok času na vykonanie veľkého počtu experimentov, ktoré spúšťajú tieto dve mince, očakáva sa, že pri každom štarte dostane tvár.

Vieme však, že vydania, v ktorých vyjdú 2 známky.

Cvičenie

Pri spustení dvoch čestných mien sa uskutoční nasledujúca stávka: Ak vyjdú 2 tváre, zarábajú 3 doláre, ak je vyhratá 1 tvár, ale ak vyjdú dve známky, musíte zaplatiť 5 dolárov. Vypočítajte očakávaný zisk stávky.

Obrázok 4. Podľa stávky sa matematické nádeje zmení spustením dvoch čestných mincí. Zdroj: Pixabay.

Riešenie

Náhodná premenná X sú hodnoty, ktoré peniaze berú v stávke a pravdepodobnosti boli vypočítané v predchádzajúcom príklade, preto tabuľka stávky je:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Pretože očakávaná hodnota je 0, ide o spravodlivú hru, takže sa očakáva, že bettor nevyhrá a nestratí. Sady stávok by sa však mohli zmeniť, aby sa stávka transformovala na hru s výhodou alebo hrou so nevýhodou.

Odkazy

1. BRASE, C. 2009. Podinštalovateľné štatistiky. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Úvod do koncepcie očakávanej hodnoty alebo matematickej nádeje náhodnej premennej. Uzdravené z: osobného.my.je.
3. Štatistické libretty. Očakávaná hodnota diskrétnych náhodných premenných. Zdroj: Štatistiky.Librettexts.orgán.
4. Triola, m. 2010. Štatistika. 11. Edimatizovať. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre vedu a inžinierstvo. 8. Vydanie. Pearson Vzdelanie.