Diskrétne rozdelenie

Tabuľka diskrétneho rozdelenia pravdepodobnosti. Zdroj: f. Zapata

Čo je diskrétna distribúcia?

A distribúcia pravdepodobnosti je funkcia f (x_Jo), ktorá priraďuje každej hodnote diskrétnej premennej: x₁, X₂, X₃,... X_Jo, určitý výskyt výskytu p (x = x_Jo). Táto funkcia je známa aj ako „funkcia hmotnosti pravdepodobnosti“.

Diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti môže byť uvedené vo forme tabuľky alebo grafiky. Tabuľka obsahuje túto všeobecnú formu, v ktorej sa premenná objaví v jednom stĺpci a jej príslušná pravdepodobnosť v druhom:

Hmotnostné funkcie pravdepodobnosti zdieľajú tieto všeobecné charakteristiky:

• Pravdepodobnosť P_Jo akejkoľvek udalosti X_Jo Je to medzi 0 a 1, dokonca aj niektoré z týchto limitných hodnôt: 0 ≤ x ≤ 1.
• P (x = x_Jo) = p_Jo Stačí brať kladné hodnoty, preto: P (x = x_Jo) ≥ 0.
• Je pravda, že ∑ p (x_Jo) = 1 pre všetky možné hodnoty x.

Distribúcia pravdepodobností opisuje správanie populácie opísané jej parametrami: priemer μ, rozptyl σ² a štandardná odchýlka s = σ σ².

Ďalej sú stručne opísané najvýznamnejšie diskrétne rozdelenie:

Rovnomerné rozdelenie

Je to najjednoduchšie diskrétne rozdelenie všetkých. V nej premenná môže mať „n“ diskrétne hodnoty: x₁, X₂, X₃,... X_Jo, Všetko s rovnakou pravdepodobnosťou. V tomto prípade je distribúcia daná:

Binomické rozdelenie

Vzťahuje sa na skúsenosti s iba dvoma možnými a vzájomne sa vylučujúcimi výsledkami, ktoré sa zvyčajne nazývajú „úspech“ a „zlyhanie“, označované ako E a F. Skutočnosť, že udalosť sa nazýva „úspech“, nemusí nevyhnutne znamenať, že je to dobrá vec, je to skôr svojvoľné označenie.

Pravdepodobnosť úspechu p (e) pri skúškach „N“ je označená ako p a pravdepodobnosť zlyhania p (f) ako q = 1 - p.

Ak „x“ predstavuje určitý počet úspechov v nezávislých pokusoch „N“, je pravda, že: 0 ≤ x ≤ n. A pravdepodobnosť výskytu p (x) udalosti sa vypočíta prostredníctvom nasledujúceho vzorca:

Môže vám slúžiť: štvorcové centimetre do štvorcových metrov (cm² až m²)

Kde x = 0, 1, 2, 3 ..., n a symbol (!) znamená „faktor“:

X! = x ∙ (x - 1) ∙ (x - 2) ∙ (x - 3)… 1

0! = 1

Poisson Distribúcia

V tejto distribúcii náhodná premenná X označuje, koľkokrát sa udalosť vyskytuje v určitom intervale, ktorý môže mať čas, vzdialenosť alebo inú. Výskyty udalosti sú náhodné, nezávislé a sú rozdelené rovnomerne počas daného intervalu.

Akonáhle sú tieto podmienky, pravdepodobnosť, ktorá závisí od priemeru výskytov μ a počtu Eulerov alebo čísla „E“, sa vypočíta podľa:

Šance na udalosti s týmto distribúciou sú malé, preto sa nazýva „zákon zriedkavých prípadov“.

Binomický distribučný prístup

Poissonova distribúcia slúži ako prístup k binomickému rozdeleniu, keď n je veľký (n≥ 100) a P je malý (NP ≤ 10). V tomto prípade sa priemer μ vypočíta ako:

μ = n ∙ P

Hypergeometrická distribúcia

Používa sa, keď pravdepodobnosti nie sú nezávislé, to znamená, že po vykonaní experimentu nie sú podmienky opäť rovnaké. To sa stane pri extrahovaní vzoriek bez náhrady z populácie, takže binomické rozloženie sa už nedá použiť.

Ak populácia pozostáva z dvoch typov objektov odlišných od a B, a pri náhodných objektoch a bez výmeny, pravdepodobnosť získania X objektov typu A sú:

Kde A a B sú príslušné množstvá objektov každého typu, prítomné v populácii.

Ak je však populácia veľmi veľká, aj keď nie je žiadna náhrada, je ťažké, aby bol ten istý prvok vybraný viackrát, takže obe distribúcie: binomické a hypergeometrické, prinesú podobné výsledky.

Môže vám slúžiť: Rozdiel kociek: vzorce, rovnice, príklady, cvičenia

Príklady

Spúšťa sa mince

CO -LAUNCHES sú veľmi ilustratívne príklady:

-Spustenie čestnej meny a získajte tvár. Je známe, že 1 tvár má ½ pravdepodobnosť odchodu a kríž (0 tvár), to isté. Distribúcia je uvedená v tejto tabuľke:

Tabuľka diskrétneho rozdelenia pravdepodobnosti, ktorá nasleduje po spustení 1 čestnej meny. Zdroj: f. Zapata

-Súčasný záber dva čestné mince a možné čísla tváre, ktoré je možné získať.

Tabuľka diskrétnej distribúcie pravdepodobnosti, ktorá sleduje spustenie dvoch čestnej meny s cieľom získať akúkoľvek tvár alebo nie. Zdroj: f. Zapata

Premenné s rovnomerným rozdelením

-Výber celočíselného čísla, ktoré je rovnomerné alebo nepárne.

-Spustenie čestných kocky. V tomto prípade existuje 6 očíslovaných tvárí a každá z nich má rovnakú pravdepodobnosť odchodu: 1/6.

-Výber témy, ktorá sa má zúčastniť skúšky, vybraná z problémov medzi N, ak sú všetky rovnako pravdepodobné.

Premenné s binomickým rozdelením

-Počet tvárí, ktoré vyjdú spustením čestnej mince.

-Z populácie 250 rodín, počet z nich, ktoré majú 2 deti.

-Množstvo ružových drevín, ktoré prežijú, po záhradníkovi 20 Rosales v záhrade.

-Štúdie s 50 pacientmi, počet z nich, ktorý predstavoval negatívnu reakciu na liek.

-Počet študentov schválených na skúške pravdepodobnosti skupiny zloženej zo 100 študentov.

Premenné s Poissonovou distribúciou

-Počet hovorov za minútu Call centrum Spoločnosť.

-Počet veľkých zemetrasení ročne pre konkrétnu geografickú oblasť.

-Počet tornád, ktoré v poslednom roku ovplyvnili určitý región.

-Počet stromov infikovaných hubou na štvorcový hektár lesa.

Premenné s hypergeometrickou distribúciou

-Úspechy čísel alebo víťazných kombinácií hazardných hier.

Môže vám slúžiť: Súbežné vektory: Charakteristiky, príklady a cvičenia

-Výber určitého počtu žien alebo mužov vo vzorke n rýb z rýb z rýb.

Vyriešené cvičenia

Cvičenie 1

Štúdia zistila, že náhodne vybraných dospelých, ktorí majú smartfóny, ich 54% používa v triede alebo na stretnutiach. Chcete nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vyberte 8 ľudí so smartfónom, presne 6 z nich ich používa v triede alebo na stretnutiach.

Riešenie

Tento experiment súhlasí s binomickým experimentom, pretože výsledok je binárny: osoba vezme telefón v triede alebo ho nevyberie. Skutočnosť, že osoba používa telefón v triede, sa dá nazvať úspech a zlyhanie, ak to neurobí (predtým, ako bolo vysvetlené, že táto voľba je úplne svojvoľná).

V takom prípade: p = 0.54 a Q = 1- 0.54 = 0.46.

Pretože 8 ľudí je náhodne vybraných, potom n = 8 a hodnota x je 6, preto sú k dispozícii potrebné hodnoty, ktoré ich nahradia vo vzorci binomického rozloženia:

Cvičenie 2

Za posledný rok klinika zaregistrovala 4221 narodení. S týmito jedinečnými údajmi určte pravdepodobnosť, že za 1 deň dôjde k 15 narodeniu. Je táto udalosť zriedkavá?

Riešenie

Používa sa Distribúcia Poissona, pretože sa vyžaduje, aby sa určila pravdepodobnosť výskytu udalosti, ktorá sa vyskytuje v časovom intervale. V tomto prípade je premenná množstvo pôrodov a interval je 1 deň.

Poissonov distribučný vzorec potrebuje priemerné narodenie za deň, ktorý sa ľahko vypočíta:

Preto je pravdepodobnosť x = 15 pôrodov/deň:

Výsledok je možné vyjadriť z hľadiska percentuálneho podielu pre prehľadnosť: 6.42% pravdepodobné, že v ktoromkoľvek dni sa vyskytne presne 15 narodení. Táto udalosť je nepravdepodobná, hoci v žiadnom prípade nemožné.