Priblíženie výpočtu pomocou diferenciálov

Prístup v matematike je číslo, ktoré nie je presnou hodnotou niečoho, ale je tak blízko, čo sa považuje za užitočný ako uvedená presná hodnota.

Keď sa v matematických prístupoch vykonávajú, je to preto, že je ručne ťažké (alebo niekedy nemožné) poznať presnú hodnotu toho, čo chcete.

Hlavným nástrojom pri práci s prístupmi je diferenciál funkcie. Diferenciál funkcie F označenej AF (x) nie je ničím iným ako derivát funkcie F vynásobené zmenou nezávislej premennej, tj, ΔF (x) = f '(x)*Δx.

Niekedy sa používajú DF a DX namiesto AF a AX.

Prístupy využívajúce diferenciálne

Vzorec, ktorý sa používa na vykonanie aproximácie prostredníctvom diferenciálu, vyplýva iba z definície derivátu funkcie ako limitu.

Tento vzorec je daný:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*δx.

Tu sa chápe, že δx = x-x0, teda x = x0+δx. Pomocou tohto vzorca môže byť prepísaný ako

f (x0 + δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*δx.

Je potrebné poznamenať, že „X0“ nie je ľubovoľná hodnota, ale že je to taká hodnota, že F (x0) je ľahko známa; Okrem toho je „f (x)“ iba hodnota, ktorej sa chceme priblížiť.

Existujú lepšie prístupy?

Odpoveď je áno. Predchádzajúci je najjednoduchší z prístupov nazývaných „lineárny prístup“.

Pre prístupy lepšej kvality (chyba je nižšia) sa používajú polynómy s viacerými derivátmi nazývané „Taylor polynóm“, ako aj ďalšie numerické metódy, ako je napríklad Newton-Raphsonova metóda.

Stratégia

Stratégia na sledovanie je:

- Vyberte primeranú funkciu F na vykonanie aproximácie a hodnoty „x“, že f (x) je hodnota, ktorú chcete priblížiť.

- Vyberte hodnotu „x0“, blízko „x“, takže F (x0) sa dá ľahko vypočítať.

- Vypočítajte δx = x-x0.

- Vypočítajte odvodenú funkciu a f '(x0).

- Nahradiť údaje vo vzorci.

Vyriešené aproximačné cvičenia

V tom, čo pokračuje, existuje množstvo cvičení, kde sa aproximácie vykonávajú pomocou diferenciálu.

1. Prvé cvičenie

Približne √3.

Riešenie

Po stratégii musíte zvoliť primeranú funkciu. V tomto prípade je zrejmé, že funkcia, ktorá sa má zvoliť.

Teraz si musíte zvoliť hodnotu „x0“ blízko „3“ tak, aby sa F (x0) ľahko vypočítal. Ak je vybraný „x0 = 2“, musí sa „x0“ blížiť k „3“, ale f (x0) = f (2) = √2 nie je ľahké vypočítať.

Hodnota „x0“, ktorá sa vyhovuje, je „4“, pretože "4" je blízko "3" a tiež f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ak „x = 3“ a „x0 = 4“, potom δx = 3-4 = -1. Teraz sa vypočíta derivát F. To znamená, f '(x) = 1/2*√x, takže f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Získa sa výmena všetkých hodnôt vo vzorci:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Ak sa použije kalkulačka, získa sa, že √3≈1.73205 ... To ukazuje, že predchádzajúci výsledok je dobrou aproximáciou skutočnej hodnoty.

2. Druhé cvičenie

Približne √10.

Riešenie

Ako predtým je vybraný ako funkcia f (x) = √x av tomto prípade x = 10.

Hodnota X0, ktorá sa musí pri tejto príležitosti zvoliť, je „x0 = 9“. Je to potom potrebné.

Pri hodnotení vo vzorci sa získava

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Použitím kalkulačky sa získava, že √10 ≈ 3.1622776 ... Tu vidíte tiež, že dobrý prístup bol získaný predtým.

3. Tretie cvičenie

Približne ³√10, kde „označuje koreň kubického.

Riešenie

Je zrejmé, že funkcia, ktorá by sa mala použiť v tomto cvičení, je F (x) = ³teri a hodnota „x“ musí byť „10“.

Hodnota blízka „10“ tak, že jeho kubický koreň je známy, je „x0 = 8“. Potom musíte δx = 10-8 = 2 a f (x0) = f (8) = 2. Musíte tiež f '(x) = 1 /3*³√x² a následné /12.

Nahradenie údajov vo vzorci, ktoré sa získa, že:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulačka hovorí, že „10 ≈ 2.15443469… Preto je nájdená aproximácia dobrá.

4. Štvrté cvičenie

Približne LN (1.3), kde „LN“ označuje funkciu prírodného logaritmu.

Riešenie

Najprv je vybraný ako funkcia f (x) = ln (x) a hodnota „x“ je 1.3. Teraz, keď viete niečo o funkcii logaritmu, môžete vedieť, že ln (1) = 0 a tiež „1“ je blízko „1.3 ". Preto sa vyberie „x0 = 1“, a tak δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Na druhej strane, f '(x) = 1/x, takže f' (1) = 1. Pri hodnotení v danom vzorci musíte:

LN (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Pri použití kalkulačky musíte LN (1.3) ≈ 0.262364 ... takže vyrobená aproximácia je dobrá.