Veta Moivre

Vysvetľujeme, čo je Moivreova veta, demonštrujeme a navrhujeme vyriešené cvičenia

Čo je Moivreova veta?

On Veta Moivre Aplikujte základné procesy algebry, ako sú sily a extrakcia koreňov v zložitých číslach. Vetu uviedla renomovaná francúzska matematik Abraham de Moivre (1730), ktorý spájal komplexné čísla s trigonometriou.

Abraham Moivre urobil toto združenie výrazmi prsníka a coseno. Tento matematik vytvoril určitý druh vzorec, prostredníctvom ktorého je to možné.

Vysvetlenie

Moivreova veta stanovuje nasledujúce:

Ak máte zložité číslo v polárnom formulári z = r_Ɵ, kde r je modul komplexného čísla z a uhol ɵ sa nazýva amplitúda alebo argument akéhokoľvek komplexného čísla s 0 ≤ ɵ ≤ 2π, na výpočet jeho n-thisu, ktorý nebude potrebné vynásobiť ho sám n- n- n- n- n- n- n- Tweces; To znamená, že nie je potrebné vyrábať nasledujúci produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{*... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ   N-u.

V prípade Contariu veta hovorí, že pri písaní Z vo svojej trigonometrickej forme vypočítať jedinú moc postupujte takto:

ÁNO Z = R (cos ɵ + i _* hriech ɵ) potom zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* hriech n*ɵ).

Napríklad, ak n = 2, potom z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Ak musíte n = 3, potom z³ = z² _* z. Okrem::

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Týmto spôsobom možno trigonometrické dôvody prsníka a kosínu získať pre násobky uhla, pokiaľ sú známe trigonometrické dôvody uhla.

Rovnakým spôsobom sa dá použiť na nájdenie presnejších a menej mätúcich výrazov pre n -koreň komplexného čísla Z, takže Zⁿ = 1.

Na demonštráciu Moivreovej vety sa používa matematický indukčný princíp: ak celé číslo „A“ má vlastnosť „p“, a ak pre akékoľvek celé číslo „n“ väčšie ako „a“, ktoré má vlastnosť „p“ se. + 1 má tiež vlastnosť „p“, takže všetky celé čísla väčšie alebo rovnaké, že „A“ majú vlastnosť „p“.

Demonštrácia Moivreovej vety

Týmto spôsobom sa demonštrácia vety vykonáva s nasledujúcimi krokmi:

Indukčná základňa

Najprv je skontrolovaný na n = 1.

Môže vám slúžiť: Curtóza: Definícia, typy, vzorce, na čo je napríklad

Ako z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* Sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], musí n = 1 veta je splnená.

Indukčná hypotéza

Vzorec má byť pravdivý pre nejaké pozitívne celé číslo, to znamená, n = k.

z^{klimatizovať} = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^{klimatizovať}  = r^{klimatizovať} (cos k ɵ + i _* hriech k ɵ).

Overovanie

Dokázalo sa, že to platí pre n = k + 1.

Ako z^K+1= z^{klimatizovať} _* Z, potom z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^{klimatizovať} (Cos kɵ + i _* hriech kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Potom výrazy vynásobia:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Jo_*sinɵ) + (i _* hriech kɵ)_*(cosɵ) + (i _* hriech kɵ)_*(Jo_* Senɵ)).

Na chvíľu sa faktor R ignoruje^K+1,  A získate spoločný faktor I:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Ako ja² = -1, nahradíme ho vo výraze a získame:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(Senɵ).

Teraz je objednaná skutočná a imaginárna časť:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (sin kɵ)_*(sinɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Na zjednodušenie výrazu sa uplatňujú trigonometrické identity uhlov pre kosínus a sínus, ktoré sú:

cos (a+b) = cos a _* cos B - sen a _* hriech B.

hriech (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos B.

V tomto prípade sú premenné uhly ɵ a kɵ. Uplatňovanie trigonometrických identity máte:

cos kɵ _* cosɵ -  hriech Kɵ _* sinɵ = cos (kɵ + ɵ)

hriech Kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* sinɵ = sin (kɵ + ɵ)

Týmto spôsobom zostáva výraz:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* hriech (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* Sin [(k +1) ɵ]).

Dalo by sa teda preukázať, že výsledok platí pre n = k+1. Podľa zásady matematickej indukcie sa dospelo k záveru, že výsledok platí pre všetky pozitívne celé čísla; to znamená n ≥ 1.

Negatívny

Moivreova veta sa používa aj pri n ≤ 0. Zoberme si negatívny celok „n“; Potom je možné „n“ napísať ako „-m“, to je n = -m, pretože je „m“ kladné celé číslo. Preto:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^-m

Na získanie exponentu „M“ pozitívnym spôsobom je výraz napísaný opačným smerom:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* Sen ɵ) ^m

Môže vám slúžiť: Nulový uhol: Definícia a charakteristiky, príklady, cvičenia

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* hriech Mɵ)

Teraz sa používa, že ak z = a+b*i je komplexné číslo, potom 1 ÷ z = a-b*i. Preto:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (Mɵ).

Pomocou tohto cos (x) = cos (-x) a to -sen (x) = sen (-x) musí:

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* hriech (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* Sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* hriech (nɵ).

Týmto spôsobom sa dá povedať, že veta sa vzťahuje na všetky celé hodnoty „n“.

Vyriešené cvičenia

Výpočet pozitívneho výkonu

Jednou z operácií s komplexnými číslami vo svojej polárnej forme je násobenie medzi dvoma z nich; V takom prípade sa moduly množia a argumenty sa pridávajú.

Ak máte dve zložité číslo Z₁ a z₂ A chcete vypočítať (z₁*z₂)², Potom postupujte takto:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Jo _* Sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Jo _* Sen ɵ₂)]

Uplatňuje sa distribučná vlastnosť:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Jo _* cos ɵ_1* Jo _* Sen ɵ₂ + Jo _* Sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Jo²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂).

Sú zoskupené a nakresľujú výraz „i“ ako spoločný faktor výrazov:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* Sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Ako ja² = -1, nahradí sa vo výraze:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* Sen ɵ₂]

Skutočné pojmy so skutočnými a imaginárnymi s imaginárnymi sú preskupené:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - Sen ɵ_1* Sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* Sen ɵ₂ + Sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Nakoniec sa uplatňujú trigonometrické vlastnosti:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Na záver:

(z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + i sin 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Cvičenie 1

Napíšte komplexné číslo do polárnej formy, ak z = - 2 -2i. Potom pomocou Moivreovej vety vypočítajte z⁴.

Riešenie

Komplexné číslo z = -2 -2i je vyjadrené v obdĺžnikovej forme z = a +bi, kde:

A = -2.

B = -2.

S vedomím, že polárna forma je z = r (cos ɵ + i _* Sen ɵ), je potrebné určiť hodnotu modulu „R“ a hodnotu argumentu „ɵ“. Ako r = √ (a²+b²), dané hodnoty sa nahradia:

Môže vám slúžiť: trigonometrické funkcie: Základné, v karteziánskej rovine, príklady, cvičenie

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Potom, aby sa určila hodnota „ɵ“, použije sa obdĺžniková forma, ktorá je daná vzorcom:

Takže ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Ako (ɵ) = 1 a musí<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Ako už bolo dosiahnuté hodnotou „R“ a „ɵ“, komplexné číslo z = -2 -2i sa dá vyjadriť v polárnom formulári nahradenie hodnôt:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* hriech (5π/4)).

Teraz sa Moivreova veta používa na výpočet z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* hriech (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* hriech (5π)).

Cvičenie 2

Nájdite produkt komplexných čísel, ktoré ho vyjadrujú vo svojej polárnej forme:

Z1 = 4 (cos 50^ani + Jo_* Sen 50^ani)

Z2 = 7 (cos 100^ani + Jo_* Sen 100^ani).

Potom vypočítajte (Z1*Z2) ².

Riešenie

Najprv sa vytvorí produkt daných čísel:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^ani + Jo_* Sen 50^ani)] * [7 (cos 100^ani + Jo_* Sen 100^ani)]

Potom sa moduly navzájom vynásobia a argumenty sa pridávajú:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^ani + 100^ani) + i_* Sen (50^ani + 100^ani)]

Výraz je zjednodušený:

z₁ z₂ = 28 _* (Cos 150^ani + (Jo_* Sen 150^ani).

Nakoniec platí Moivreova veta:

(Z1*Z2) ² = (28 _* (Cos 150^ani + (Jo_* Sen 150^ani)) ² = 784 (cos 300^ani + (Jo_* Sen 300^ani).

Výpočet negatívnych právomocí

Rozdeliť dve zložité čísla z₁ a z₂ Vo svojej polárnej forme je modul rozdelený a argumenty sa odpočítajú. Kvocient je teda z₁ ÷ z₂ A je vyjadrené takto:

z₁ ÷ z₂ = R1/r2 ([cos (ɵ ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, ak chcete vypočítať (Z1 ÷ z2) ³, delenie je prvé účinky a potom sa použije moivre veta.

Cvičenie 3

Kocky:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

vypočítať (Z1 ÷ z2) ³.

Riešenie

Podľa vyššie opísaných krokov možno dospieť k záveru, že:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4)))

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2))

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Odkazy

1. Arthur Goodman, L. H. (Devätnásť deväťdesiat šiestich). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Vzdelanie.
2. Croucher, m. (s.F.). Moivreova veta pre identite TRIG. Projekt demonštrácií Wolframu.
3. Hazardinkel, m. (2001). Encyklopédia matematiky.
4. Max Peters, w. L. (1972). Algebra a trigonometria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Vzdelanie.
6. Stanley, G. (s.F.). Lineárna algebra. Hned.
7. , M. (1997). Predkválka. Pearson Vzdelanie.