Séria príkladov a cvičení moci

A Power séria Pozostáva zo súčtu pojmov vo forme právomocí premennej X, alebo všeobecnejšie, z X-c, kde c Je to neustále skutočné číslo. Pri zhrnutí sumy séria právomocí sa vyjadruje takto:

∑a_n (X -c)ⁿ = a_ani + do₁ (x - c) + a₂ (X - c)² + do₃ (X - c)³ +… + A_n (X - c)ⁿ

Kde koeficienty_ani, do₁, do₂... Sú to skutočné čísla a séria začína na n = 0.

postava 1. Definícia výkonovej série. Zdroj: f. Zapata.

Táto séria je zameraná na hodnotu c To je konštantné, ale môžete si to vybrať c Byť rovná 0, v takom prípade sa právomoci zjednodušujú:

∑a_n Xⁿ = a_ani + do₁ x + a₂ X² + do₃ X³ +… + A_n Xⁿ

Začína séria do_ani(X-C)⁰ a do_aniX⁰ respektíve. Ale vieme to:

(X-C)⁰= x⁰ = 1

Preto do_ani(X-C)⁰ = do_aniX⁰ = do_ani (Nezávislý termín)

Dobrá vec na silách právomocí je, že s nimi môžete vyjadriť funkcie a to má veľa výhod, najmä ak chcete pracovať s komplikovanou funkciou.

Ak je to tak, namiesto priameho používania funkcie sa používa jeho vývoj energie, ktorý sa dá ľahšie odvodiť, integrovať alebo pracovať numericky.

Samozrejme, všetko je podmienené konvergenciou série. Séria konverguje, keď pridaním určitého množstva výrazov sa získa pevná hodnota. A ak pridáme viac výrazov, naďalej získavame túto hodnotu.

[TOC]

Funguje ako právomoci právomocí

Ako príklad funkcie vyjadrenej ako séria energie f (x) = e^X.

Túto funkciu možno vyjadriť z hľadiska série právomocí nasledovne:

a^X  ≈ 1 + x + (x² / 2!) + (X³ / 3!) + (x⁴ / 4!) + (x⁵ / 5!) +..

Kde! = n. (N-1). (N-2). (N-3)… a je vzaté 0! = 1.

Ideme skontrolovať pomocou kalkulačky, ktorá sa séria účinne zhoduje s explicitne danou funkciou. Napríklad začnime robiť x = 0.

Môže vám slúžiť: teoretická pravdepodobnosť: ako to dostať von, príklady, cvičenia

Vieme, že e⁰ = 1. Pozrime sa, čo robí séria:

a⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

A teraz to skúsme s x = 1. Hodí to kalkulačka a¹ = 2.71828, A potom porovnajme so sériou:

a¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

Iba s 5 termínmi už máme presnú zhodu v e ≈ 2.71. Naša séria chýba len o niečo viac, ale keďže sa pridávajú viac výrazov, so všetkou istotou sa séria konverguje k presnej hodnote a. Zastúpenie je presné, keď N → ∞.

Ak sa predchádzajúca analýza opakuje pre n = 2 Získajú sa veľmi podobné výsledky.

Týmto spôsobom sme si istí, že exponenciálna funkcia f (x) = e^X Môže ju reprezentovať táto séria právomocí:

Obrázok 2. V tejto animácii sa to považuje za to, že sily sú bližšie k exponenciálnej funkcii, pretože sa berú viac pojmov. Zdroj: Wikimedia Commons.

Geometrické právomoci právomocí

Funkcia f (x) = e^X Nie je to jediná funkcia, ktorá pripúšťa sériové znázornenie právomocí. Napríklad funkcia  F(x) = 1/1 - x  Vyzerá to podobne ako známy Konvergentná geometrická séria:

∑a.rⁿ = A / 1 - r

Stačí urobiť a = 1 a r = x, aby ste získali vhodnú sériu pre túto funkciu, ktorá je vycentrovaná na C = 0:

Je však známe, že táto séria je konvergentná pre │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Ak chcete definovať túto funkciu v inom intervale, jednoducho sa zameriava na primeranú hodnotu a je pripravená.

Ako nájsť sériu Vývoj právomocí funkcie

Akákoľvek funkcia je možné vyvíjať v sérii síl zameraných na C, pokiaľ ste odvodili zo všetkých objednávok na x = c. Postup využíva nasledujúcu vetu, ktorá sa nazýva Taylorova veta:

Nech f (x) je funkciou s derivátmi objednávok n, označený ako F^(N), čo pripúšťa sériový rozvoj právomocí v intervale Jo. Jeho vývoj v Taylor Series je:

Môže vám slúžiť: aké je umiestnenie celých a desatinných čísel?

Tak to:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)² /2 + f "(c) (x-c)³ /6 +… r_n

Kde r_n, čo je nth zo série, nazýva sa to zvyšky:

Keď c = 0 sa volá séria Séria Maclaurin.

Táto séria, ktorá je tu uvedená, je totožná so sériami uvedená na začiatku, až teraz existuje spôsob, ako výslovne nájsť koeficienty každého termínu, ktorý dal:

Je však potrebné zabezpečiť, aby séria sprostredkovala funkciu, ktorú chcete reprezentovať. Stáva sa, že nie každá séria Tayloru sa nevyhnutne konvertuje na F (x), ktorý mal na pamäti pri výpočte koeficientov do_n.

Stáva sa to, pretože možno tie odvodené z funkcie, hodnotené v x = c sa zhoduje s rovnakou hodnotou osôb odvodených od iného, ​​tiež v x = c. V tomto prípade by koeficienty boli rovnaké, ale vývoj by bol nejednoznačný tým, že nebude mať istotu, ktorá funkcia zodpovedá.

Našťastie existuje spôsob, ako vedieť:

Konvergenčné kritériá

Aby sa predišlo nejednoznačnosti, ak r_n → 0 Keď n → ∞ pre všetky x v intervale I sa séria konverguje na F (x).

Cvičenie

- Cvičenie vyriešené 1

Nájdite geometrické právomoci pre funkciu f (x) = 1/2 - x Zamerané na C = 0.

Riešenie

Daná funkcia sa musí vyjadriť spôsobom, ktorý sa čo najviac zhoduje s 1 /1 x, ktorého séria je známa. Preto prepíšeme čitateľa a menovateľa bez zmeny pôvodného výrazu:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Keďže ½ je konštantná, vychádza z súčtu, a to je napísané z hľadiska novej premennej X/2:

Môže vám slúžiť: konjugovaný binomický: ako je vyriešený, príklady, cvičenia

Všimnite si, že x = 2 nepatrí do domény funkcie a podľa kritérií konvergencie uvedených v oddiele Geometrická séria, Vývoj platí pre │x/2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Cvičenie vyriešené 2

Nájdite prvých 5 termínov vývoja seriálu MacLaurinovej funkcie F (x) = sen x.

Riešenie

Krok 1

Prvé sú deriváty:

-Odvodené z poradia 0: Je to rovnaká funkcia f (x) = sen x

-Prvý derivát: (sin x) '= cos x

-Druhý derivát: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Tretí derivát: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Štvrtý derivát: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Krok 2

Potom sa každý derivát hodnotí pri x = c, ako je vývoj maclaurin, c = 0:

Sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sen 0 = 0; -Cos 0 = -1; Sin 0 = 0

Krok 3

Koeficienty sú vyrobené tak_n;

do_ani = 0/0! = 0; do₁ = 1/1! = 1; do₂ = 0/2! = 0; do₃ = -1 / 3!; do₄ = 0/4! = 0

Krok 4

Nakoniec je séria zostavená podľa:

hriech x ≈ 0.X⁰ + 1. X¹ + 0 .X² - (1/3!) X³ + 0.X⁴... = x - (1/3!)) X³  +..

Potrebuje čitateľ viac výrazov? Koľko ďalších, séria je bližšie k funkcii.

Všimnite si, že v koeficientoch existuje vzor, ​​nasledujúci non -null termín je₅ A všetok nepárny index sa líši aj od 0, čo striedajú príznaky, takže:

Sen X ≈ x - (1/3!)) X³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +.. .

Je ponechané ako cvičenie na overenie, môžete použiť pomer kvocientu Pre sériu konvergencie.

Odkazy

1. Nadácia CK-12. Power Series: Reprezentácia funkcií a operácií. Získané z: CK12.orgán.
2. Engler, a. 2019. Integrálny počet. Národná univerzita pobrežia.
3. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9NA. Vydanie. McGraw Hill.
4. Bezplatné matematické texty. Power séria. Získané z: matematiky.Libretexts.orgán.
5. Wikipedia. Power séria. Obnovené z: je.Wikipedia.orgán.