Pravidlá odvodenia (s príkladmi)

Aké sú pravidlá odvodenia?

Ten Pravidlá Sú súborom indikácií, ktoré treba nasledovať, aby ste našli obyčajný derivát skutočnej premennej funkcie f (x).

Bežný derivát funkcie F (x) označený ako F '(x) sa interpretuje ako okamžitý výmenný kurz uvedenej funkcie vzhľadom na premennú x. Graficky je derivát sklonom dotykovej čiary k krivke f (x), vypočítanej v danom bode, ktorého súradnica je x_ani, ako je znázornené na obrázku nižšie.

Derivát ako sklon čiary dotyčenca do f (x) v danom bode. Zdroj: Wikimedia Anemos/upravené pomocou F. Zapata.

Analyticky sa derivát vypočítava prostredníctvom nasledujúceho limitu:

Takže zakaždým, keď je potrebný derivát určitej funkcie, by sa mal limit vyhodnotiť tak, ako je uvedené. Existujú však pravidlá Deretion, ktoré sa ľahko zapamätajú s trochou praxe a ukladajú prácu pri výpočte limitu, čo je v niektorých prípadoch ťažkopádne.

Aké sú pravidlá odvodenia?

Pravidlá odvodenia uvedené nižšie sa ľahko získajú prostredníctvom formálnej derivátovej definície.

1. Okamžité deriváty

Odvodené z konštanty

Derivát konštanty K je 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Príklad

f (x) = 5, potom f '(5) = 0

Odvodené z x

Derivát f (x) = x je vždy 1, to znamená, že:

f (x) = x, potom f '(x) = 1

2. Odvodená lineárna funkcia

Lineárna funkcia má formu:

f (x) = sekera

Kde a je skutočné číslo.

Jeho derivát je:

f '(x) = a

• Príklad

Nech f (x) = 3x, potom:

f '(x) = 3

3. Odvodené zo súčtu

Ak f (x) je súčet alebo odčítanie dvoch funkcií U a V, obe diferencovateľné:

f (x) = u ± v

Tak:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Odvodené z súvisiacej funkcie

Súvisiaca funkcia je súčet dvoch výrazov:

Môže vám slúžiť: kombinované operácie

f (x) = ax + b

Kde A a B sú skutočné čísla. Uplatňovanie súčtu sumy:

f '(x) = (ax)' + (b) '

Ale:

(ax) '= a (pravidlo 2)

(b) '= 0 (pravidlo 1)

Preto:

f '(x) = a

• Príklad

Derivát F (x) = −8x + 6 je:

f '(x) = (−8x)' + (6) '= −8

4. Odvodené z moci

Prípad 1

Nech f (x) je potenciálnou funkciou formy f (x) = xⁿ, tak:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Príklad

Pri odvodení:

f (x) = x³

Výsledok:

f '(x) = 3⋅x^3-1 = 3x²

Prípad 2

Ak má funkcia tvar f (x) = sekerⁿ, Kde a je skutočné číslo, vychádza z derivátu:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Príklad

Odvodiť:

f (x) = 4x⁵

Je získané:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5-1 = 20x⁴

Prípad 3

Ak je exponent frakčný, pokračuje rovnakým spôsobom, aký bol vysvetlený v prípadoch 1 a 2. Toto sa vyskytuje, keď sa premenná x zistí ako argument koreňa.

• Príklad

Byť funkciou:

f (x) = 3x^3/2

Derivát je:

 Ak chcete písať vo forme koreňa:

5. Odvodený

Pravidlo produktu sa vzťahuje na funkcie tvare produktu medzi dvoma funkciami U a V, ktoré sú diferencované:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

To znamená, že derivát produktu dvoch funkcií je derivátom prvého, druhým bez odvodenia, plus prvý bez odvodenia, vynásobený derivátom druhého.

• Príklad

Nájdite podľa pravidla produktu a vyššie opísaných pravidiel, derivát:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Prvou vecou je rozhodnúť sa, kto u a v sú, pamätajte na to, že poradie faktorov nemení produkt, možno ich vybrať týmto spôsobom:

• U = 2x+3
• V = 4x²−1

Potom sa zvýši pravidlo produktu a uvedené deriváty sú vyriešené podľa vyššie opísaných pravidiel:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Môže vám slúžiť: lineárne programovanie: Na čo ide, modely, obmedzenia, aplikácie

Musíš:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Výmena:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Derivát je už pripravený, ale výraz môže byť stále faktor:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Tento výsledok je možné získať aj predtým, ako sa uplatňuje distribučná vlastnosť na produkt (2x+3) (4x²−1) a potom pomocou pravidiel od 1 do 4. Zostane ako cvičenie pre čitateľa.

6. Odvodené z kvocientu

Byť funkciou formy:

S podmienkou v ≠ 0 a že obidve u a v sú diferencovateľné. V tomto prípade sa jeho derivát vypočíta prostredníctvom:

• Príklad

Nájdite derivát:

Pre tento príklad musíte:

• U = x+1
• v = x²

Pomer kvocientového pravidla vedie k:

Pre ktoré je potrebné vymeniť nasledujúce:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

A pri výmene je:

Uplatňovanie distribučnej vlastnosti v čitateľovi a zníženie výrazov, výraz pre f '(x) je:

Cvičenie mohlo byť vyriešené iným spôsobom, prepisovanie f (x) ako:

f (x) = (x+1) ∙ x⁻²

A potom uplatnenie pravidla produktu a nejakej algebry. Čitateľ je ponechaný ako cvičenie, aby overil, či je získaný rovnaký výsledok.

7. Pravidlo reťazca

Vzťahuje sa na zložené funkcie, forma:

f = f (u)

Kde u = g (x)

Jeho derivát sa vykonáva takto:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

G '(x) je známy ako Vnútorný derivát. Uplatňovanie pravidla reťazca je jednoduchšie, ako sa zdá na prvý pohľad, pozri tento príklad:

• Príklad

Uplatnením pravidla reťazca nájdite derivát:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Preto f (u) = u⁷ A jeho derivát je podľa pravidla 4:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Tento výsledok sa uloží a vypočíta sa vnútorný derivát G '(x):

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Tu je potrebné uplatňovať pravidlá postupne: 3 (pre súčet/odčítanie funkcií), 4 (pre právomoci) a 1 (pre derivát konštanty).

Môže vám slúžiť: Teória frontov: História, model, pre čo je pre to a príklady pre

Je získané:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Posledným krokom je vynásobenie výsledkov:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

A nakoniec usporiadať faktory:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Odvodené z trigonometrických funkcií

Deriváty trigonometrických funkcií sú:

• Príklad

Odvodiť:

H (x) = sin (4x)

Urobenie u = 4x a získanie uplatňovania pravidla reťazca:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Odvodené z inverzných trigonometrických funkcií

Sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

• Príklad

Odvodiť:

g (x) = arct tg (-2x)

Vždy majte na pamäti pravidlo reťazca, vykonáva sa u = -2x a derivát je:

10. Odvodené z exponenciálnych a logaritmických funkcií

Exponenciálna funkcia

Ak je základňa číslo E:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Keď je základňa číslo A:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Logaritmická funkcia

Keď je odvodená funkcia neperiánskeho logaritmu:

f (x) = ln x

V prípade logaritmu na inej základni:

f (x) = log_do X

• Príklad

Odvodiť:

H (x) = x ∙ lnx

jedenásť. Implicitný derivát

Používajú sa, keď klírens y (x) nie je okamžitý, preto neexistuje explicitný výraz pre f (x), ako v predchádzajúcich prípadoch. Napriek tomu je možné nájsť derivát s postupom, ktorý je znázornený v nasledujúcom príklade:

• Príklad

Implicitne odvodte nasledujúci výraz, ktorý nájdete a ':':

4x³+11xy²-2³ = 0

Ako vidíte, nie je ľahké ich nájsť a v závislosti od X priamo, aby ste našli požadovaný derivát, opísané pravidlá sa uplatňujú, s odkazom na obidve strany rovnosti:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (a²) '] - (2y³) '= 0 (pravidlo súčtu a pravidlo produktu)

Cieľom je vyčistiť a ', čo je hľadaný derivát, pre ktorý sa uplatňuje pravidlo reťazca:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²a '= 12x² + 11 + 22xy ∙ a ' - 6y² ∙ a '= 0

a '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0