Konvergenčné rádio Definícia, príklady a cvičenia vyriešené

On Polomer konvergencie série síl je polomer kruhu konvergencie, ku ktorej séria zbližuje. Tento kruh sa rozširuje od hodnoty, ktorá ruší základy právomocí na najbližšiu singularitu funkcie spojenej so sériou.

Všetky analytické funkcie f (z) Spájalo sériu právomocí okolo newingulárneho bodu, nazývaného Taylor Series:

postava 1. Graf zobrazuje sériu napájania okolo hodnoty A = 1 pre funkciu f (x). Jeho polomer konvergencie je r = 2. Zdroj: Fanny Zapata.

Kde do Je to stred kruhu konvergencie, z nezávislá premenná funkcie a c_n Sú to koeficienty súvisiace s tými odvodenými z funkcie F bod z = a.

Polomer konvergencie r Je to pozitívne skutočné číslo, ktoré definuje región:

| Z - a | < r

Kde séria konverguje. Z tohto regiónu je divergovaná séria, to znamená, že berie nekonečné hodnoty. Keď je polomer konvergencie nekonečný, séria sa konvertuje v celej komplexnej rovine.

[TOC]

Ako sa určuje polomer konvergencie?

Aby bola séria konvergentná, je potrebné, aby sa absolútna hodnota následných výrazov zníži, keď je počet výrazov veľmi veľký. Matematickým spôsobom by sa to vyjadrilo takto:

Použitím vlastností limitov v predchádzajúcom výraze sa získa:

Tu r Je to polomer konvergencie a | Z - a | < r Je to otvorený hraničný kruh v komplexnej rovine, kde séria konverguje. V prípade hodnoty do a premenná z sú reálne čísla, potom otvorený interval konvergencie na skutočnej osi bude: (A - r, a+r).

Taylor Series

Taylorova séria funkcie f (x) Okolo hodnoty do V ktorej má funkcia nekonečné deriváty, je to séria právomocí, ktoré sú definované ako:

Môže vám slúžiť: axiómy pravdepodobnosti: typy, vysvetlenie, príklady, cvičenia

V prostredí | X - A | < r, s r akoPolomer konvergencie série, séria Taylor a funkcia musia byť f (x) Zhodujú sa.

Na druhej strane polomer konvergencie r Je to vzdialenosť bodu do a jedinečnosť X_siež bližšie k bodu do, Byť jedinečnými bodmi, kde limit funkcie má tendenciu k nekonečnu.

To je, keď x → x_siež tak F → ± ∞.

Príklady

Príklad 1

Byť S (x) Právomoci dané nasledujúcim výrazom:

S (x) = 1 - x + x²- X³+ X⁴-.. .+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ +.. .

Aby sme určili oblasť, v ktorom sa séria konverguje, vypočítame kvocient medzi pojmom (N-BeeiMo + 1) a pojmom (N-Eme):

Absolútna hodnota predného kvocientu je | x | a jeho limit, keď N → ∞ je to tiež  | x |.

Aby bola séria konvergentná, je potrebné, aby:

Takže polomer konvergencie tejto série je R = 1, Pretože konverguje k hodnotám x, ktoré sú vo vzdialenosti menšej ako 1 vzhľadom na stred x = 0.

Príklad 2

Chcete nájsť sériu funkcie Taylor f (x) = 1 / (1 + x) okolo bodu x = 0 a určte jeho polomer konvergencie.

Aby sme našli sériu, berieme po sebe nasledujúce deriváty funkcie F (x), z ktorých ukážeme prvé tri:

Berúc do úvahy, že termín nulového poriadku série Taylor je:

 f (0) = 1,

Prvá objednávka: F '(0)/1!

Druhá objednávka:

 F "(0)/2!

Tretí príkaz:

 f "(0)/3!

A tak ďalej, séria Taylor danej funkcie je:

f (x) = 1 - x + x² - X³ + X⁴ -.. .+(-1)ⁿ ⋅ xⁿ +.. .

Môže vám slúžiť: Equilaterálny trojuholník: Charakteristiky, vlastnosti, vzorce, oblasť

Ktoré sa zhodujú s výkonovou sériou študovanou v príklade 1.

Už sme povedali, že polomer konvergencie série Taylor je vzdialenosť od stredu expanzie v sérii, čo je v našom prípade hodnota x = 0 Až do prvej singularity funkcie f (x). 

Pretože naša funkcia má singularitu (to znamená nekonečno) x = -1, Vzdialenosť medzi hodnotou -1 a rozširujúce centrum 0 je | -1 - 0 | = 1, Dospelo sa k záveru, že polomer konvergencie Taylor Series je 1.

Tento výsledok sa úplne zhoduje s výsledkom získaným v príklade 1 inou metódou.

Skutočnosť, že zóna konvergencie série Taylor je otvoreným intervalom (-1, 1), naznačuje, že funkcia a séria sa zhodujú v tomto intervale, ale nie mimo rovnakého.

To je znázornené na obrázku 2, kde bolo odobratých 41 výrazov série Taylor, nakreslených kontinuálnou modrou čiarou, zatiaľ čo pôvodná funkcia je znázornená na červenej čiare segmentov.

Obrázok 2. Je zobrazená funkcia f (x) (červenou farbou) a jej séria právomocí (alebo séria Taylor v modrej farbe). Je možné vnímať ako prvých 41 výrazov série konvergovať medzi -1 a 1. Okrem toho sa funkcia a jej série zhodujú iba v konvergenčnej oblasti. (Zdroj: Fanny Zapata)

Vyriešené cvičenia

- Cvičenie 1

Zvážte rovnakú funkciu f (x) = 1 / (1 + x) Príklad 2, ale tentoraz sa vyžaduje, aby našla sériu Taylor uvedenej funkcie okolo bodu A = 1.

Riešenie

Nájdeme po sebe nasledujúce výrazy série, počnúc nezávislým pojmom, ktorý je f (1) = ½.

Ďalší koeficient zodpovedajúci termínu prvého objednávky je:

F '(1)/1! = -¼

Druhá objednávka je:

f "(1)/2! = 2/(2³ 2!)

Postupujte podľa koeficientu tretieho poriadku:

Môže vám slúžiť: Tetradecagon

f "(1)/3! = -6 / (2⁴ 3!)

A tak ďalej. Séria Taylor bude:

SF (x) = ½ - 1/2² (X-1) + 1/2³(X-1)² - 1/2⁴ (X-1)³ + 1/2⁵ (X-1)⁴-..

- Cvičenie 2

Nájdite polomer konvergencie predchádzajúcej série

Riešenie

Píšeme termín n-eme a termín n-alkaus viac jeden:

Vypočítame kvocient týchto dvoch výrazov, ktoré sú uvedené nižšie, zjednodušené:

Absolútna hodnota predchádzajúceho výrazu sa získa získaním:

| X - 1 | / 2

Aby však séria bola konvergentná, je potrebné, aby bola predchádzajúca suma striktne nižšia ako jednotka, to znamená:

| X - 1 | < 2

Čo naznačuje, že polomer konvergencie okolo hodnoty x = 1 je:

R = 1

Na druhej strane predchádzajúci výraz je rovnocenný s dvojitou nerovnosťou:

-2 < x - 1 < +2

Ak pridáme +1 ku každému z troch členov predchádzajúceho výrazu, získa sa:

-1 < x < 3

Čo je interval série konvergencie.

Obrázok 1 zobrazuje pôvodnú funkciu a Taylor sériu uvedenej funkcie okolo bodu X = 1. Na obrázku je možné overiť, či sa séria zhoduje s funkciou v prostredí bodu X = 1, ale v rámci polomeru konvergencie.

Odkazy

1. Nadácia CK-12. Power Series: Reprezentácia funkcií a operácií. Získané z: CK12.orgán.
2. Engler, a. 2019. Integrálny počet. Národná univerzita pobrežia.
3. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9NA. Vydanie. McGraw Hill.
4. Bezplatné matematické texty. Power séria. Získané z: matematiky.Libretexts.orgán.
5. Wikipedia. Power séria. Obnovené z: je.Wikipedia.orgán.
6. Wikipedia. Polomer konvergencie. Zdroj: In.Wikipedia.orgán