Čo je usmernenie? (Geometria)

Ten smernica V geometrii pozostáva z krivky, povrchu alebo objemu, ktorý zostáva fixný a určuje spôsob, akým sa vytvára geometrický objekt. Napríklad podľa čiary sú zavedené ďalšie krivky, ako sú kužeľové a revolučné povrchy, ako napríklad priamy kruhový valec.

Krivka usmernenia môže byť tiež obvodom. Priamy kruhový valec sa dá vytvoriť tak, že ponechá polomer ri -r rión ri.

postava 1. Priamy kruhový valec má ako vodiaci kruh, okolo ktorého sa pohybuje priama čiara nazývaná generál. Zdroj: f. Zapata.

Obvod, ktorý je v rovine nakreslenej na obrázku, určuje tvar zakriveného povrchu priameho kruhového valca, ktorý sa generuje otáčaním čiary okolo nej, nazývané priama generácia.

Ak krivka vedenia nie je obvodom, ale iná krivka, generujú sa iné typy valca, ako je napríklad eliptický valec, ktorého usmernenie je elipsou.

Obvod môže tiež pôsobiť ako usmernenie na generovanie inej krivky, ako je prípad Epitrookoid, Krivka v rovine generovanej bodom, ktorý je zase v menšom kruhu, ktorý sa valí bez posúvania, okolo usmernenia.

Je ľahšie ju vizuálne oceniť podľa nasledujúcej animácie:

Obrázok 2. Červená krivka sa volá Epitrocide a jej krivka usmernenia. Zdroj: Wikimedia Commons. Sam Derbyshire na anglickej Wikipedia/CC By-S (http: // creativecommons.Org/licencie/By-SA/3.0/).

Krivka usmernenia na valcových povrchoch

Valcovité povrchy sa klasifikujú podľa ich usmerňovacej krivky vo valcoch:

-Kruhový

-Eliptický

-Parabolický

-Hyperbolický

Ak má valcový povrch usmernenie, ktoré leží v rovine kolmej na líniu generálov, rovnica uvedeného povrchu je rovnaká ako usmernenie usmernenia.

Môže vám slúžiť: Aký je vzťah medzi oblasťami Rhombus a obdĺžnik?

Valce patria do skupiny Kvadrické povrchy, ktorého rovnica je druhý stupeň s tromi premennými. Všeobecná forma je:

Sekera² + Podľa² + Cz² + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ + K = 0

Kde koeficienty a, b, c ... sú skutočné čísla.

Valce sú najbežnejšie a najužitočnejšie trojrozmerné geometrické telá, ktoré sa dajú nájsť, najmä priame kruhové valce, ale ďalšie typy valcov opísaných nižšie majú aplikácie v strojárstve a konštrukcii.

Kruhový valec

Jeho usmernenie je kruh C, ktorý je v rovine kolmej na valec, ako je znázornené na obrázku 1, pretože čiara generálov, ktorá beží na C za vzniku bočného povrchu, je kolmá na c.

Rovnica obvodu C v rovine XY, zameraná na pôvod (0,0) je:

X² + a² = R²

Kde r, polomer obvodu bude samozrejme polomerom valca. Výška H valca sa rozširuje pozdĺž osi Z, kolmo na rovinu XY.

Eliptický valec

Usmernenie je elipsa v rovine XY zameraná na pôvod (0,0), ktorej rovnica je:

Generatrix je čiara kolmá na rovinu XY, ktorá sa pohybuje okolo elipsy, aby vznikla bočný povrch. Elipsa môže byť v akejkoľvek výške z v rovine xy.

Napríklad Ellipse rovnice:

4x² + 9y² = 36

Je to usmerňovacia krivka, ktorá vedie k eliptickému valcovi, ktorého rovnica je 4x² + 9y² = 36, plus z = 0. Pridanie tohto posledného výrazu je zrejmé, že je to povrch.

Môže vám slúžiť: Chyba vzorkovania: vzorce a rovnice, výpočet, príklady

Parabolický valec

V tomto prípade je usmernenie podobenstvo, ktoré môže byť z formy y = x². Valec je teda nasmerovaný pozdĺž osi Z a tvorí stohovacie podobenstvá s vrcholom v (0,0) pozdĺž tejto osi.

Parabolický valec má aplikáciu v slnečnej energii, pretože niektorí zberatelia majú zrkadlá, prostredníctvom ktorých je slnečné svetlo sústredené v zaostrení. Tento bod prechádza priamym potrubím, v ktorom olej dosahuje teploty až do 400 ° C.

Hyperbolický valec

V hyperbolickom valci je rovnica usmernenia hyperbola zameraná na pôvod:

Valec je vytvorený do zásobníka.

Revolúcia

Krivka usmernenia povrchu revolúcie je rovnakou osou revolúcie, ktorá je riadkom, okolo ktorej krivka, ktorá je zodpovedná za generovanie povrchu.

Krivka, ktorá sa revolves môže mať, môže mať ľubovoľný tvar, a tak sa oblasť vygeneruje tak, ako je to vidieť v tejto animácii:

Obrázok 3. Revolúcia. Zdroj: Wikimedia Commons. https: // nahrávanie.Wikimedia.Org/wikipedia/commons/e/e7/rotationkoerper_animation.Gif.

Ak sa otočí ďalšia čiara, získa sa už známy priamy kruhový valec. Rovnakým spôsobom je možné získať ďalšie povrchy revolúcie, ako sú kužeľové, sférické a toroidné povrchy revolúcie.

Kužeľ

Kuchársky povrch sa generuje pohybom generatrixovej čiary, ktorá vždy prechádza pevnou plochou krivkou alebo usmerňovacou krivkou a pevným bodom nazývaným vrchol, ktorý nepatrí do roviny usmernenia.

Môže vám slúžiť: matematická nádej: vzorec, vlastnosti, príklady, cvičenie

Vrchol alebo hrot rozdeľuje kužeľ na dve časti, nazývané listy ani vetvy.

Vyriešené cvičenia

- Cvičenie 1

Nájdite bočnú plochu vysokého kruhového valca s výškou 25 cm, ktorej krivka usmernenia je obvod polomeru 6 cm, zameraný na pôvod.

Riešenie

Bočná plocha valca je produktom dĺžky usmernenia podľa výšky. Ak R je polomer obvodu a H je výška valca, oblasť je daná:

A = 2πr x H = 2πx 6 cm x 25 cm = 942.5 cm²

- Cvičenie 2

Máte nasledujúcu rovnicu, ktorá zodpovedá kvadrickému povrchu:

X² + a² + 2z² +2xz - 2yz = 1

Uveďte, aký je povrch a aká je rovnica usmernenia.

Riešenie

Robiť z = k, kde k je konštantný, získa sa:

X² + a² + 2k² +2 kx - 2K = 1

Podmienky usporiadame takto:

(X² + 2 kx) + (a²- 2K) = 1-2k²

Štvorce musia², Aby nezmenil žiadne zátvorky:

(X² + 2 kx + k² - klimatizovať² ) + (a² - 2ky + k² - klimatizovať²) = 1-2k²

(X² + 2 kx + k²) - k²  + (a²- 2ky + k²) - k² = 1-2k²

Týmto spôsobom zostáva:

(x + k)² + (a - k)² = 1

Rovnako ako rovnica stredného kruhu (-K, k) a polomer 1, povrch je rovný kruhový valec, tiež rádio 1, pokiaľ je línia generálnej strany kolmá na uvedený obvod.

Napríklad, robím k = 0, rovnica sa zníži na obvod zameraný na pôvod (0,0), ktorého polomer je 1:

X² + a² = 1

Odkazy

1. Gaussians. Predstavuje tri rozmerové povrchy. Uzdravené z: Gaussians.com.
2. Kindle, J. Teória a problémy analytickej geometrie. McGraw Hill. Séria Schaum.
3. Povrchy ako geometrické miesta. Získané z: Algebra.Frlp.Utn.Edu.ar.
4. Suárez, m. Povrchy. Zdroj: Subjekty.Unáhlenie.Edu.ar.
5. Kvadrické povrchy. Obnovené z: systémov.fcicencia.Žobrák.mx.