Klasický výpočet pravdepodobnosti, príklady, vyriešené cvičenia

Ten Klasická pravdepodobnosť Je to konkrétny prípad výpočtu pravdepodobnosti udalosti. Je definovaný ako kvocient medzi udalosťami priaznivými pre túto udalosť a celkovými možnými udalosťami, s podmienkou, že každá z týchto udalostí je rovnako pravdepodobná. Klasická pravdepodobnosť je známa aj ako a priori pravdepodobnosť alebo teoretická pravdepodobnosť.

Túžba predvídať veci je vždy súčasťou ľudskej prirodzenosti: Všetci sa pýtame, či bude nasledujúci deň pršať alebo či určitý futbalový tím bude hrať alebo nie v prvej divízii budúcu sezónu budúcu sezónu. Existujú archeologické dôkazy o tom, že ľudia hrali hazardné hry okolo 40.000 rokov.

Definícia koncepcie klasickej pravdepodobnosti

Prvá kniha o pravdepodobnostiach je však spôsobená holandským astronómom Christianom Huygensom, ktorý ju nazval Zdôvodnenie súvisiace s kockami. Ako vidíme, klasická pravdepodobnosť má svoj pôvod v hrách náhody.

Kocky majú dlhú históriu, je to kubický kus, ktorého tváre sú očíslované s bodmi od jedného do šiestich. Spustením iba jednej čestnej kocky: Aká je pravdepodobnosť, že vyjde, povedzme, päť?

Je to veľmi jednoduché: existuje iba jedna tvár medzi 6 označenými piatimi bodmi, preto pravdepodobnosť p je:

P = 1/6

[TOC]

Výpočet klasickej pravdepodobnosti

Tento spôsob výpočtu pravdepodobnosti udalosti je uplatňovanie Laplaceovho pravidla, ktoré v roku 1812 uvádza francúzsky matematik Pierre de Laplace (1749-1827).

Pravidlo Laplace sa používa v klasickej pravdepodobnosti na výpočet pravdepodobnosti udalosti. Zdroj: f. Zapata.

Buďte udalosťou, ktorej chceme poznať jeho pravdepodobnosť výskytu p (a), potom:

P (a) = počet prípadov priaznivých pre udalosť a / počet možných prípadov

Výsledkom tejto operácie je vždy kladné číslo medzi 0 a 1. Ak má udalosť pravdepodobnosť výskytu, znamená to, že sa to nestane.

Na druhej strane, ak sa pravdepodobnosť výskytu rovná 1, znamená to, že sa to stane v akejkoľvek podobe av každom prípade pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti, pridaná s pravdepodobnosťou, že sa tak nestane, sa rovná 1 :

Tu sme označili pravdepodobnosť, že udalosť A sa nevyskytuje prostredníctvom lišty na listoch.

Môže vám slúžiť: 10 typov algoritmov a ich vlastnosti

Je zrejmé, že v právnych kocky má ktorákoľvek zo 6 tvárí rovnakú pravdepodobnosť odchodu, preto musí byť pravdepodobnosť získania tváre s 5 1/6.

Dôležitý detail je nasledujúci: Aby sme uplatnili pravidlo Laplace, musí byť počet možných prípadov konečný, to znamená, že im musíme byť schopní povedať a získať prirodzené číslo.

V príklade kocky je 6 možných prípadov a jediná priaznivá udalosť. Sada možných prípadov sa volá vzorový priestor.

Pri uplatňovaní pravidla Laplace je vhodné starostlivo analyzovať vzorový priestor vrátane všetkých možných udalostí, to znamená, že musí byť úplný a uprataný, aby sa uniká žiadnym udalostiam, ktoré by sa netýkali.

Vzorový priestor a udalosti

Vzorový priestor zvyčajne označuje písmeno S alebo grécke písmeno Ω (Capital Omega) a bol konceptom zavedený spoločnosťou Galileo.

Hráč kocky sa pýtal múdry, pretože je ťažšie získať 9 spustenie o tri kocky ako 10, potom Galileo vypočítal možné spôsoby získania 9. Nakoniec vypočítal príslušné pravdepodobnosti a zistil, že v skutočnosti P (9) < P (10).

Vzorka priestoru s niekoľkými prvkami

Ak vzorový priestor pozostáva z niekoľkých prvkov, sú uvedené ako sada. Predpokladajme napríklad, že chcete nájsť pravdepodobnosť, že v rodine s dvoma deťmi majú obe rovnaké pohlavie.

Môžeme aplikovať klasickú pravdepodobnosť správne určovanie priestoru vzorky. Ak m = žena a h = človek, vzorový priestor detí je:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Každý prvok vzorového priestoru je udalosťou, napríklad udalosť (M, m) znamená, že dve deti tejto rodiny sú ženy.

Mať priestor vzorky, výpočet požadovanej pravdepodobnosti je veľmi jednoduchý, pretože medzi 4 existujú iba 2 priaznivé prípady, takže obe deti sú rovnakého pohlavia: (M, m) a (H, H), preto:

P (obe deti rovnakého pohlavia) = 2/4 = 0.5

Vzorka priestoru s mnohými prvkami

Ak vzorový priestor pozostáva z mnohých prvkov, je lepšie dať všeobecné pravidlo, aby ste ho našli. Napríklad, ak T je životnosť tímu, vzorový priestor je:

Siež = tón∕tón ≥ 0

Že znie takto: „Všetky hodnoty T také, že t sú väčšie alebo rovné 0“. Udalosť tohto priestoru by mohla byť, že zariadenie má životnosť t = 2 roky.

Môže vám slúžiť: známka polynómu: Ako je určené, príklady a cvičenia

Príklady klasickej pravdepodobnosti

Klasická pravdepodobnosť sa uplatňuje za predpokladu, že dva vyššie uvedené priestory sú splnené, to znamená:

-Všetky udalosti sú rovnako pravdepodobné.

-Vzorový priestor je konečný.

Preto existujú situácie, v ktorých nie je možné uplatniť klasickú pravdepodobnosť, napríklad keď chcete predvídať, či nová liečba vylieči určitú chorobu alebo pravdepodobnosť, že stroj vyrába chybné položky.

Na druhej strane sa dá úspešne uplatniť v nasledujúcich prípadoch:

Spustiť

Klasická pravdepodobnosť vzniká zo záujmu ľudí o hazardné hry. Zdroj: Pixabay.

Ako sme videli, pravdepodobnosť, že určitá tvár vyjde, sa rovná 1/6.

Vezmite si list z paluby

Máme 52 -kartu palubu francúzskej paluby, ktorá sa skladá zo štyroch paličiek: srdiečko, ďateliny, diamanty a picas. Takže pravdepodobnosť extrahovania srdca s vedomím, že z každej palice je 13 kariet, je:

P (srdce) = 13/52

Spustenie

Je to typický príklad klasickej pravdepodobnosti, pretože pri spustení meny je vždy pravdepodobnosť rovná ½ získania tváre alebo pečiatky.

Extrahovať farebné guľky z vrecka 

Vo vnútri vrecka môžu byť farebné guľky, napríklad sú tu červené guľky, modré guľky a zelené guľky. Pravdepodobnosť extrahovania červenej je:

P (r) = r / n

Vyriešené cvičenia

- Cvičenie 1

Po spustení čestných kocky. Vypočítajte nasledujúce pravdepodobnosti:

a) Nakreslite nepárne číslo.

b) Nech a 2 alebo 5 vyjde.

c) Dosiahnite hodnotu menšiu ako 4.

d) Získajte hodnotu menšiu alebo rovnajúcu sa 4.

e) Dosiahnite inú hodnotu 3

Roztok

Vzorový priestor je s = 1, 2, 3, 4, 5, 6, nepárne hodnoty sú 1, 3 a 5, preto zo 6 možných prípadov existujú tri priaznivé prípady:

P (nepárne) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Riešenie B

Chceme extrahovať 2 alebo 5, to znamená, že ktorýkoľvek z týchto prípadov je preto priaznivý:

P (2 alebo 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Riešenie c

V takom prípade existujú 3 priaznivé udalosti: získajte 1, 2 alebo 3:

P (menej ako 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Riešenie d

Tu je ďalšia priaznivá udalosť, pretože nás žiadajú o nižšie alebo rovnaké hodnoty, ktoré 4, potom:

Môže vám slúžiť: acutangle trojuholník

P (hodnota nižšia alebo rovná 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Riešenie e

Iné spustenie 3 znamená, že vyšla každá z ďalších hodnôt:

- Cvičenie 2

V krabici je modrá, zelená guľa, červená, žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť, že pri berú lopta zatvorená očami je žltá?

Riešenie

Udalosť „e“ je vytiahnuť loptu z krabice so zavretými očami (ak sa to robí s otvorenými očami, pravdepodobnosť je 1) a že je to žltá.

Existuje iba jeden priaznivý prípad, pretože existuje iba jedna žltá guľa. Možných prípadov je 5, pretože v krabici je 5 guličiek.

Preto sa pravdepodobnosť udalosti „e“ rovná p (e) = 1/5.

Ako je zrejmé, ak má udalosť vytiahnuť modrú, zelenú, červenú alebo čiernu guľu, pravdepodobnosť sa bude rovnať aj 1/5. Preto je príklad klasickej pravdepodobnosti.

Pozorovanie

Keby v krabici boli 2 žlté gule, potom P (e) = 2/6 = 1/3, zatiaľ čo pravdepodobnosť vytiahnutia modrej, zelenej, červenej alebo čiernej gule by sa rovná 1/6.

Pretože nie všetky udalosti majú rovnakú pravdepodobnosť, takže to nie je príklad klasickej pravdepodobnosti.

- Cvičenie 3

Aká je pravdepodobnosť, že spustením kocky je získaný výsledok rovný 5?

Riešenie

Jedna kocky má 6 tvárí, každá s iným počtom (1,2,3,4,5,6). Preto existuje 6 možných prípadov a iba jeden prípad je priaznivý.

Pravdepodobnosť, že pri spustení kocky sa získa 5, sa teda rovná 1/6.

Pravdepodobnosť získania akéhokoľvek iného výsledku kocky sa opäť rovná 1/6.

- Cvičenie 4

V triede je 8 chlapcov a 8 dievčat. Ak sa učiteľka náhodne vyberie študenta vo svojej obývacej izbe, aká je pravdepodobnosť, že zvolený študent je dievča?

Riešenie

Udalosť „E“ je zvoliť náhodného študenta. Celkovo je tu 16 študentov, ale ako si chcete zvoliť dievča, potom existuje 8 priaznivých prípadov. Preto p (e) = 8/16 = 1/2.

V tomto príklade je pravdepodobnosť výberu dieťaťa 8/16 = 1/2.

To znamená, že je také pravdepodobné, že vybraný študent je dievča ako chlapec.

Odkazy

1. August, a. Pravdepodobnosť. University of Portoriko. Získané z: Docs.Utrpenie.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Štatistika: Metódy a aplikácie. Redaktory.
3. Jiménez, r. 2010. Matematika II. Druhý. Vydanie. Sála.
4. Triola, m. 2012. Štatistika. 11. Vydanie. Addison Wesley.
5. Matematika. Laplace. Získané z: Sangakoo.com.