Čiastočné zlomky

Metóda rozkladu v čiastočných frakciách sa používa na riešenie integrálov. Zdroj: f. Zapata.

Čo sú čiastočné zlomky?

Spôsob čiastočné zlomky o Jednoduché frakcie sa používajú v algebre a matematickom výpočte na rozloženie racionálneho výrazu, pričom zostane algebraický súčet jednoduchších frakcií.

Ako ďalšie jednoduché frakcie sa uľahčuje výpočet operácií, ako sú deriváty a integrály.

Zoberme si nasledujúcu racionálnu algebraickú expresiu, ktorá pozostáva z polynómov p (x) a q (x) v čitateľovi a menovateľovi:

Chcete napísať tento výraz ako súčet menších frakcií. Na tento účel by sa malo poznamenať, že polynóm Q (x) v menovateľovi je štvorcový trinomiál, ktorý sa dá rýchlo ovplyvniť ako produkt dvoch faktorov:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Preto predchádzajúci výraz zostáva nasledovne:

Poznanie súčtu zlomkov, tento spôsob písania výrazu ľahko vedie k tomuto druhému:

Zostáva nájsť hodnoty A a B, takže pôvodný výraz je vyjadrený ako súčet týchto dvoch menších frakcií. Pre zobrazený príklad sú hodnoty: a = 3 a b = 2 a čitateľ môže potvrdiť, že v skutočnosti súčet:

Je to rovnocenné s pôvodným výrazom:

Vzhľadom na to:

Ako sa počítajú čiastočné frakcie?

Existujú metódy na výpočet koeficientov, ktoré musia ísť do čitateľov jednoduchých frakcií, ktoré závisia od formy pôvodného racionálneho výrazu, tj na forme p (x)/q (x).

V prvom rade je potrebné pamätať na to, že keď je stupeň p (x) menší ako stupeň q (x), je to vlastné racionálne vyjadrenie, A ak nastane opak, je to nesprávny racionálny výraz.

Metódy rozkladu jednoduchých frakcií sa vzťahujú na ich vlastné algebraické výrazy, ak nie sú, musia sa najskôr znížiť a vykonať operáciu divízie p (x)/q (x).

Môže vám slúžiť: trigonometrické identity (príklady a cvičenia)

Cieľom je potom nájsť čitateľov každého z frakcií, pre ktoré sa rozlišujú štyri prípady, čo závisí od faktorizácie menovateľa Q (x).

Prípad 1: Faktory q (x) sú lineárne a neopakované

Ak sú faktory q (x) lineárne a neopakujú sa, to znamená, že sú formy (x-a_Jo):

Q (x) = (x -a₁) (pre₂)… (Pre_n)

S₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_n, To znamená, že všetky faktory q (x) sú rôzne, racionálny výraz je napísaný ako:

Hodnoty a₁, Do₂, Do₃.._n, Musia byť určené. Racionálny výraz uvedený na začiatku je príkladom tohto prípadu.

Prípad 2: Q (x) má opakované lineárne faktory

Ak Q (x) pozostáva z opakovaného faktora formulára (x - a)ⁿ, Pri n ≥ 2 sa rozklad čiastočných frakcií vykonáva takto:

Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, koeficienty musia byť určené algebraickými postupmi.

Prípad 3: Q (x) má nevzdelený neredukčný kvadratický faktor

Ak sa faktoringom Q (x) objaví irreducibilný kvadratický faktor, formulára Ax²+BX+C, pre tento faktor, musí byť zahrnutá do rozkladu pridanie s touto formou:

Hodnoty a a b sa musia nájsť.

Prípad 4: Q (x) má neredukovateľný a opakovaný kvadratický faktor

Za predpokladu, že faktorizácia q (x) obsahuje neredukovateľný a opakovaný kvadratický faktor²+Bx+c)ⁿ, Musia byť zahrnuté nasledujúce doplnky:

Ako vždy, musia sa vypočítať potrebné koeficienty. Príklady uvedené nižšie ukazujú, že sú potrebné algebraické postupy.

Príklady čiastočných zlomkov

Príklad 1

Nasledujúci racionálny výraz:

Už prichádza s faktorizovaným menovateľom, ktorý pozostáva z dvoch neopakovaných lineárnych faktorov, takže Q (x) je:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Potom, ktorý sa usiluje o rozklad v čiastočných frakciách, zodpovedá prípadu 1, ktorý je schopný písať:

Ak chcete nájsť príslušné hodnoty A a B, vykonáva sa súčet rovnosti:

Môže vám slúžiť: Ellipse

Vyrovnávanie čitateľov:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Uplatňovanie distribučných vlastností a zoskupovanie podobných podmienok:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koeficient (a+b) sa rovná 3, pretože obe sprevádzajú na oboch stranách rovnosti pojmu, ktorý obsahuje „x“. Pokiaľ ide o časť, koeficient (−a+2b) sa rovná 0, pretože právo na rovnosť neexistuje žiadny iný podobný termín.

Potom sa vytvorí nasledujúci systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi:

A+B = 3
−a+2b = 0

Ktorého riešenie je:

A = 2
B = 1

Preto:

Čitateľ môže skontrolovať rovnosť a vykonať súčet sekcií napravo.

Príklad 2

V tomto ďalšom výraze:

Tiež sa faktorom faktoruje, pozoruje sa výskyt opakovaného termínu (x+1)², Okrem lineárneho termínu (x+2). V takom prípade je rozklad v čiastočných frakciách, ako je uvedené v prípade 2,:

Na nájdenie hodnôt A, B a C sa vykonáva súčet práva a používa sa iba čitateľ:

Čitateľ výslednej expresie sa rovná výrazu pôvodného výrazu, ktorý sa vyvíja algebraicky, aby sa oddelili podobné výrazy:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Z výsledku je systém troch rovníc s tromi neznámymi A, B a C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2B+2C = −3

Systémové riešenie je:

A = −5
B = 5
C = −4

Rozklad v požadovaných čiastočných frakciách je:

Cvičenie

Táto časť ukazuje vyriešené cvičenie ilustrujúce uplatňovanie metódy čiastočných frakcií alebo jednoduchých frakcií na výpočet neurčitých integrálov. Cieľom je napísať integráciu jednoduchším spôsobom.

Po prepísaní sa výsledné jednoduché integrály vyhľadávajú v tabuľke alebo sa vyriešia jednoduchou zmenou premennej.

Môže vám slúžiť: Historické pozadie analytickej geometrie

Žiada sa o výpočet nasledujúceho integrálu:

Riešenie

Prvým je overiť, či integrácia je skutočne vlastným racionálnym algebraickým výrazom, pretože stupeň čitateľa je menší ako miera menovateľa. Jeho menovateľ je ľahko faktor a zostáva:

Preto q (x) je:

Q (x) = x (x²+2)

A pozostáva z lineárneho termínu: X a nezmyselného kvadratického pojmu sa neopakuje: x x²+2 je preto kombináciou prípadu 1 a prípadu 3. Rozklad v čiastočných frakciách integrácie je:

Vykonanie sumy na právo na rovnosť:

Ako vždy, pre čiastočné frakcie fungujú iba s čitateľom výrazu súčtu, ktorý by sa mal vždy rovnať pôvodnému výrazu:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Vývoj:

Sekera² + 2A + BX² + Cx = 2

Zoskupenie podobných výrazov:

(A+b) x² + CX + 2A = 2

Rovnakom koeficientov podobných výrazov sa získa systém rovníc, ktoré sa majú vyriešiť, s neznámymi A, B a C:

A + B = 0
C = 0
2A = 2

Z druhej rovnice je už známe, že C = 0, z posledného, ​​vyplýva, že a = 1, teda b = -1, takže prvý. S týmito hodnotami sa získa:

Teraz sa nahradí v pôvodnom integráli:

A získajú sa dve jednoduché integrály s elementárnymi funkciami, ktoré sa nachádzajú v tabuľkách alebo sú rýchle rozlíšenie.

Prvý IDE tieto integrálne sú elementárne:

A druhý integrál:

Je vyriešená nasledujúcou zmenou premennej: u = x²+4, du = 2xdx, vedie k:

Vrátenie zmeny premennej:

Nakoniec, získanie oboch výsledkov, je určené riešenie:

Obidve integračné konštanty idú do jedného, ​​nazývané C.

Odkazy

1. Araujo, f. 2018. Integrálny počet. Salesovská polytechnická univerzita. Redakcia univerzity Abya-Yala. Quito, Ekvádor.
2. Arcega, r. Integrácia rozkladom v čiastočných frakciách. Získané z: UAEH.Edu.mx.
3. Larson, R. 2012. Predbežné vyfarbenie. 8. Vydanie. Učenie sa.
4. Purcell, e. J. 2007. Kalkulácia. 9NA. Vydanie. Sála.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. 13. Vydanie. Učenie sa.